内置式永磁同步电机PMSM的矢量控制

永磁同步电机控制系统是多变量、强耦合的时变非线性系统，要进行高性能控制，获得良好的动态稳态特性，常用的方法是矢量控制。

永磁同步电机矢量控制是通过坐标变换的方式将三相电流解耦，以控制其中一项来达到控制电机转矩的目的，解耦后的电机特性与直流电机相似，所以控制实现容易。目前常用的方法包括：

• ${{i}_{d}}\text{=}0$id​=0控制
• 功率因数$\cos \varphi =1$cosφ=1控制
• 恒磁链控制
• 弱磁控制
• 最大转矩电流比控制(MTPA)
• 最大输出功率控制

其中${{i}_{d}}\text{=}0$id​=0控制算法最为简单，实现最容易。对于表帖式永磁同步电机（隐极式），最大转矩/电流轨迹就是q轴，因此，对于隐极式PMSM来说，最大转矩.电流控制就是${{i}_{d}}=0$id​=0控制。对于凸极式PMSM，采用MTPA和弱磁控制相结合的控制方式。

根据机电能量转换原理，可以得到内置式永磁同步电机的电磁转矩方程为：
${{T}_{e}}=\frac{3}{2}{{p}_{n}}{{i}_{q}}\left[ {{i}_{d}}({{L}_{d}}-{{L}_{q}})+{{\psi }_{f}} \right]\tag{1}$Te​=23​pn​iq​[id​(Ld​−Lq​)+ψf​](1)

1、${i}_{d}={0}$id​=0控制原理

从式（1）所示的电磁转矩方程可以看出：

如果${i}_{d}={0}$id​=0，因转子磁链 ${{\psi }_{f}}$ψf​、电机极对数 ${{p}_{n}}$pn​均为恒量，则电磁转矩 ${{T}_{e}}$Te​与q轴电流${{i}_{q}}$iq​成正比例，所以需得到两相旋转坐标系下的电流矢量，将${{i}_{d}}$id​和${{i}_{q}}$iq​进行解耦，其中${{i}_{d}}$id​为励磁分量，${{i}_{q}}$iq​为转矩分量，从而实现磁场和转矩的解耦控制。

将 ${{i}_{d}}=0$id​=0代入电磁转矩方程中可得驱动电机的输出转矩为：
${{T}_{e}}=\frac{3}{2}{{p}_{n}}{{i}_{q}}{{\psi }_{f}}\tag{2}$Te​=23​pn​iq​ψf​(2)

${{i}_{d}}\text{=}0$id​=0控制原理图如图1所示，主要包括转速环PI控制、电流环PI控制、SVPWM控制、坐标变换及PMSM五部分。其中：

• 转速环PI控制的目的是为了控制电机转速，使得电机实际转速能够快速跟随需求转速，为外环部分，要满足快速调速且稳速的要求。
• 电流环PI控制的目的是控制电机的电流，使得电机端三相电流经由坐标变换得到的两相旋转坐标系电流能跟随转速环输出的需求电流，其中d轴需求分量为${{i}_{dref}}\text{=}0$idref​=0，q轴需求分量为转速环PI控制得到的值，为内环部分，需满足快速响应且电流波动小的要求。

电流环PI控制输出得到的两相旋转坐标系需求电压由反Park变换得到两相静止坐标系下的需求电流分量，由SVPWM模块调制得到控制波形，控制逆变器的6个开关器件，使得直流电源信号逆变成三相交流电压控制电机，通过电流传感器、转速传感器和位置传感器得到电机的实时运行数据，并进行反馈控制，完成整个矢量控制过程。

图1 永磁同步电机矢量控制框图

2、空间矢量脉宽调制技术(Space Vector Pulse Width Modulation，SVPWM)

SVPWM采用的是通过逆变器空间电压(电流)矢量切换来控制逆变器的新颖思路，与传统的PWM算法不同，圆形旋转磁场通过逆变器空间电压矢量的切换获得，使得输出正弦的电流波形。相较于传统的SPWM，它有消除谐波效果比较好、直流环节电压利用率高、电机的转矩脉动小等优点。

忽略定子电阻的压降，有：
${{U}_{r}}=\frac{d\psi }{dt}\tag{3}$Ur​=dtdψ​(3)

可知定子电压方向与磁链运动方向相同，电压矢量和磁链矢量运动轨迹重合。所以通过控制电压矢量运动轨迹为圆形，就能得到圆形磁链。

经典的两电平三相电压源逆变器电路原理图如图2所示，在逆变器电路中，毎个桥臂上下两个开关管为互补输出方式，只需用上桥臂的开关状态就能描述逆变器的工作状态。当${{s}_{a}}{{s}_{b}}{{s}_{c}}$sa​sb​sc​为1时，表明相应的上桥臂${{s}_{a}}{{s}_{b}}{{s}_{c}}$sa​sb​sc​开关器件接通，而其下桥臂${{{s}'}_{a}}{{{s}'}_{b}}{{{s}'}_{c}}$s′a​s′b​s′c​开关器件关断；反之，其值为0时表明${{s}_{a}}{{s}_{b}}{{s}_{c}}$sa​sb​sc​开关器件关断而${{{s}'}_{a}}{{{s}'}_{b}}{{{s}'}_{c}}$s′a​s′b​s′c​开通，组成的开关状态一共有8种，通过逆变器就能对应得到8个基本电压矢量，各矢量可表达为：
${{\mathbf{U}}_{r}}=\frac{2{{U}_{\text{dc}}}}{3}\left( {{s}_{a}}+{{s}_{b}}{{\text{e}}^{\text{j}\frac{2}{3}\pi }}+{{s}_{c}}{{\text{e}}^{-\text{i}\frac{2}{3}\pi }} \right)\tag{4}$Ur​=32Udc​​(sa​+sb​ej32​π+sc​e−i32​π)(4)

式中：Sa、Sb、Sc为三个桥臂的开关状态。

图2 两电平三相电压源逆变器电路原理图

电压空间矢量脉宽调制的原理就是利用上述8种组合的空间电压矢量的不同组合来合成目标电压矢量，使磁链轨迹尽可能接近于圆，从而使输出电流的谐波含量较低，同时可以其输出电压。8种组合的空间电压矢量映射到复平面中得到6个扇区，如图3所示，当按照U4(100)→U6(110)→U2(010)→U3(011)→U1(001)→U5(101)的顺序施加电压矢量，电压矢量的轨迹为六边形，为了得到圆形的轨迹，首先需知道电压矢量所在的扇区，确定相邻的两个基本空间电压向量，然后计算各矢量的作用时间，最后用三角载波信号进行切换点的比较产生换向器所需要的PWM波。

图3 电压空间矢量图

（1）扇区的判断

判断扇区的目的是需要找到相邻的基本空间电压向量，先定义三个变量为：
$\left\{ \begin{matrix}{} {{U}_{ref1}}={{U}_{\beta ref}} \\ {{U}_{ref2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}{{U}_{\alpha ref}}-\frac{1}{2}{{U}_{\beta ref}} \\ {{U}_{ref3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}{{U}_{\alpha ref}}-\frac{1}{2}{{U}_{\beta ref}} \\ \end{matrix} \right.\tag{5}$⎩⎪⎨⎪⎧​Uref1​=Uβref​Uref2​=23​​Uαref​−21​Uβref​Uref3​=−23​​Uαref​−21​Uβref​​(5)

再定义三个变量A、B、C，若 ${{U}_{ref1}}>0$Uref1​>0，则A=1，否则A=0；若 ${{U}_{ref2}}>0$Uref2​>0，则B=1，否则B=0；若 ${{U}_{ref3}}>0$Uref3​>0，则C=1，否则C=0。

定义扇区判断关系式为：
$M=4C\text{+}2B\text{+}A\tag{6}$M=4C+2B+A(6)

扇区判断关系式M与所在扇区的关系可以用表1表示。

表1 扇区判断式与所在扇区的关系

M	1	2	3	4	5	6
扇区	Ⅱ	Ⅵ	Ⅰ	Ⅳ	Ⅲ	Ⅴ

（2）电压矢量作用时间的计算

确定个各电压空间矢量的作用时间是为了让电机的转子按照预定的圆形轨迹运行。图4为期望电压矢量合成示意图，首先SVPWM输入端是电机的需求定子电压空间矢量给定值Ur，磁链变化量是对电压空间矢量给定值进行Tr的时间内积分，即为UrTr，而在相邻的电压空间矢量上表现为
${{\mathbf{U}}_{4}}{{T}_{4}}\text{+}{{\mathbf{U}}_{6}}{{T}_{6}}\text{=}{{\mathbf{U}}_{r}}{{T}_{r}}\tag{7}$U4​T4​+U6​T6​=Ur​Tr​(7)

图4 期望电压矢量合成示意图

从图4中可得：
$\left\{ \begin{matrix}{} {{u}_{\alpha }}=\frac{{{T}_{4}}}{{{T}_{r}}}\left| {{\mathbf{U}}_{4}} \right|+\frac{{{T}_{6}}}{{{T}_{r}}}\left| {{\mathbf{U}}_{6}} \right|\cos \frac{\pi }{3} \\ {{u}_{\beta }}=\frac{{{T}_{6}}}{{{T}_{r}}}\left| {{\mathbf{U}}_{6}} \right|\sin \frac{\pi }{3} \\ \end{matrix} \right.\tag{8}${uα​=Tr​T4​​∣U4​∣+Tr​T6​​∣U6​∣cos3π​uβ​=Tr​T6​​∣U6​∣sin3π​​(8)

将式(8)变化得到:
$\left\{ \begin{matrix}{} {{T}_{4}}=\frac{\sqrt{3}{{T}_{r}}}{2{{U}_{dc}}}\left( \sqrt{3}{{u}_{\alpha }}-{{u}_{\beta }} \right) \\ {{T}_{6}}=\frac{\sqrt{3}{{T}_{\text{s}}}}{2{{U}_{dc}}}{{u}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right.\tag{9}${T4​=2Udc​3​Tr​​(3​uα​−uβ​)T6​=2Udc​3​Ts​​uβ​​(9)

令扇区各矢量作用时间为：
$\left\{ \begin{matrix}{} X=\frac{\sqrt{3}{{T}_{r}}{{u}_{\beta }}}{{{U}_{dc}}} \\ Y=\frac{\sqrt{3}{{T}_{r}}}{{{U}_{dc}}}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}{{u}_{\alpha }}+\frac{1}{2}{{u}_{\beta }} \right) \\ Z=\frac{\sqrt{3}{{T}_{r}}}{{{U}_{dc}}}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}{{u}_{\alpha }}+\frac{1}{2}{{u}_{\beta }} \right) \\ \end{matrix} \right.\tag{10}$⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​X=Udc​3​Tr​uβ​​Y=Udc​3​Tr​​(23​​uα​+21​uβ​)Z=Udc​3​Tr​​(−23​​uα​+21​uβ​)​(10)

一般当${{T}_{4}}\text{+}{{T}_{6}}\le {{T}_{r}}$T4​+T6​≤Tr​，而余量时间就平均分配到空间电压零矢量U0和U7上，零矢量是不会影响磁链变化量，此时令
${{T}_{4}}=\frac{{{T}_{4}}}{{{T}_{4}}+{{T}_{6}}}{{T}_{r}}{{T}_{6}}=\frac{{{T}_{6}}}{{{T}_{4}}+{{T}_{6}}}T\tag{11}$T4​=T4​+T6​T4​​Tr​T6​=T4​+T6​T6​​T(11)

定义开关时间切换点如式(12)所示，根据所得的时间切换点即可得PWM波形。
$\left\{ \begin{matrix}{} {{T}_{aon}}=( {{T}_{r}}-{{T}_{4}}-{{T}_{6}} )/4 \\ {{T}_{bon}}={{T}_{aon}}+{{T}_{4}}/2 \\ {{T}_{con}}={{T}_{bon}}+{{T}_{6}}/2 \\ \end{matrix} \right.\tag{12}$⎩⎨⎧​Taon​=(Tr​−T4​−T6​)/4Tbon​=Taon​+T4​/2Tcon​=Tbon​+T6​/2​(12)

3 最大转矩电流比控制(MTPA)

标幺值是电力系统分析和工程计算中常用的数值标记方法，表示各物理量及参数的相对值。PMSM的矢量控制中，把电磁转矩方程用标幺值表示，可以得到：
$T_{e}^{*}=i_{q}^{*}(1-i_{d}^{*})\tag{13}$Te∗​=iq∗​(1−id∗​)(13)

式中，$i_{q}^{*}i_{d}^{*}$iq∗​id∗​分别为$i_{q}^{{}}i_{d}^{{}}$iq​id​的标幺值。其对应的转矩的基值为${{T}_{eb}}=p{{\lambda }_{PM}}{{i}_{b}}$Teb​=pλPM​ib​，电流的基值为${{i}_{b}}={{\lambda }_{PM}}/({{L}_{q}}-{{L}_{d}})$ib​=λPM​/(Lq​−Ld​)。

最大转矩/电流控制也称单位电流输出最大转矩控制，它是凸极永磁同步电机用得较多的一种电流控制策略。采用MTPA控制时，电机的电流矢量应满足：
$\left\{ \begin{matrix} & \frac{\partial \left( {{T}_{e}}/{{i}_{s}} \right)}{\partial {{i}_{d}}}=0 \\ & \frac{\partial \left( {{T}_{e}}/{{i}_{s}} \right)}{\partial {{i}_{q}}}=0 \\ \end{matrix} \right.\tag{14}${​∂id​∂(Te​/is​)​=0∂iq​∂(Te​/is​)​=0​(14)

把${{i}_{s}}=\sqrt{i_{d}^{2}+i_{q}^{2}}$is​=id2​+iq2​​代入上式，可求得：
${{i}_{d}}=\frac{{{\lambda }_{PM}}}{4({{L}_{q}}-{{L}_{d}})}+\sqrt{\frac{\lambda _{PM}^{2}}{16{{({{L}_{q}}-{{L}_{d}})}^{2}}}+\frac{i_{s}^{2}}{2}}\tag{15}$id​=4(Lq​−Ld​)λPM​​+16(Lq​−Ld​)2λPM2​​+2is2​​​(15)

把式(15)表示为标么值，可以得到$dq$dq轴电流分量与电磁转矩的关系为：
$T_{e}^{*}=\sqrt{i_{d}^{*}{{(1-i_{d}^{*})}^{3}}}\tag{16}$Te∗​=id∗​(1−id∗​)3​(16)

$T_{e}^{*}=\frac{i_{d}^{*}}{2}[1+\sqrt{1+4i{{_{q}^{*}}^{2}}}]\tag{17}$Te∗​=2id∗​​[1+1+4iq∗​2​](17)

利用上述两式，可以将定子电流分量$i_{d}^{*}$id∗​和$i_{q}^{*}$iq∗​可表示为：
$\left\{ \begin{matrix} & i_{d}^{*}={{f}_{1}}(T_{e}^{*}) \\ & i_{q}^{*}={{f}_{2}}(T_{e}^{*}) \\ \end{matrix} \right.\tag{18}${​id∗​=f1​(Te∗​)iq∗​=f2​(Te∗​)​(18)

对任一给定转矩，按式(18)求出最小电流的两个分量作为电流的控制指令值，即可实现电机的MPTA控制。图5给出了式(18)所表示的曲线，图 6为最大转矩/电流控制系统示意图，图中只给出了电机的转矩控制环节。

图 5$i_{d}^{*}$和$i_{q}^{*}$曲线

图 6 PMSM的MPTA控制示意图

正弦波永磁同步电机的控制运行与逆变器密切相关，电机运行收到逆变器的制约。其中，电机的相电压有效值的极限值${{U}_{\lim }}$Ulim​和相电流有效值极限值${{I}_{\lim }}$Ilim​要受到逆变器直流侧电压和逆变器的最大输出电流的限制。因此，电流约束方程为：
$i_{s}^{{}}=\sqrt{i_{d}^{2}+i_{q}^{2}}\le {{I}_{\lim }}\tag{19}$is​=id2​+iq2​​≤Ilim​(19)

因而，最大$d$d轴去磁电流可表达为：
${{i}_{d}}=\frac{{{\lambda }_{PM}}}{4({{L}_{q}}-{{L}_{d}})}+\sqrt{\frac{\lambda _{PM}^{2}}{16{{({{L}_{q}}-{{L}_{d}})}^{2}}}+\frac{I_{\lim }^{2}}{2}}\tag{20}$id​=4(Lq​−Ld​)λPM​​+16(Lq​−Ld​)2λPM2​​+2Ilim2​​​(20)

此时，最大的$q$q轴电流为：
${{i}_{q}}=sign(T_{e}^{*})\sqrt{I_{\lim }^{2}-i_{d}^{2}}\tag{21}$iq​=sign(Te∗​)Ilim2​−id2​​(21)

式中，$sign(T_{e}^{*})$sign(Te∗​)为取$T_{e}^{*}$Te∗​的符号。