集合论基本概念与其运算

时间：2024-05-19 16:43:11

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集合的基本概念与运算

集合与元素

康托尔定义：集合是人们直观上或者思想上能够明确区分一些对象所构成的一个整体
补充限制：

  • 谓词 P ( x ) P(x) P(x)的范围要明确清楚。
  • 诸如 P ( x ) = x ∉ x P(x)=x\notin x P(x)=x∈/​x这类的谓词不能作为集合定义的性质条件，不然会产生悖论

定义：(抽象原则)

任给一个性质P，那么就确定了一个集合A，A的集合恰好是具有性质P的对象，也就是集合A正是具有性质P的所有对象构成的整体，即 A = { x ∣ P ( x ) } A=\{x|P(x)\} A={x∣P(x)}

每给定一个性质P，就确定一个集合A，A是由具有性质P的客体组成的。另一方面，集合A中的每个元素，都具有性质P
∀ x ( P ( x ) ↔ x ∈ A ) 或 ∀ x ( P ( x ) ↔ x ∈ { x ∣ P ( x ) } ) \forall x(P(x)\leftrightarrow x\in A) 或 \forall x(P(x)\leftrightarrow x \in \{x|P(x) \}) ∀x(P(x)↔x∈A)或∀x(P(x)↔x∈{x∣P(x)})

集合的相等 与 包含

定义：（集合相等）（外延性公理）

设A，B为任意两个集合，当且仅当A，B两集合都含有相同元素的时候，称A，B两集合相等，记做A=B

集合与元素次序无关
集合同一元素重复出现看做冗余，不影响集合相等关系
集合可以作为另一集合的元素出现在另一集合当中，全部集合的元素都是集合的集合称为集合族或者聚合
注意区分{q}与q的区别，若 { q } ∈ A , 但 q 不 一 定 属 于 A \{ q\}\in A,但q不一定属于A {q}∈A,但q不一定属于A

定义： 含于

若集合A的每一个元素都是集合B的元素，那么称A为B的子集，也称A包含于B或者B包含A
记做：
A ⊆ B 或 B ⊇ A A\subseteq B或 B\supseteq A A⊆B或B⊇A
A ⊆ B ⇔ ( ∀ x ) ( x ∈ A → x ∈ B ) A\subseteq B\Leftrightarrow (\forall x)(x\in A \rightarrow x\in B) A⊆B⇔(∀x)(x∈A→x∈B)

定义：真包含

设A，B为两个集合，如果 A ⊆ B 或 B ⊇ A A\subseteq B或B\supseteq A A⊆B或B⊇A并且 A ≠ B A\neq B A​=B则称集合A为B的真子集，也称A真包含与B，或者B真包含与A，记做 A ⊂ B 或 B ⊃ A A\subset B或B\supset A A⊂B或B⊃A

真包含意味着集合A的每一个元素都是集合B的元素，同时集合B的元素中至少有一个元素不是集合A的元素，即：
A ⊂ B ↔ ( ∀ x ) ( x ∈ A → x ∈ B ) ∧ ( ∃ x ) ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) A\subset B \leftrightarrow(\forall x)(x\in A \rightarrow x\in B)\wedge(\exists x)(x\in B\wedge x \notin A) A⊂B↔(∀x)(x∈A→x∈B)∧(∃x)(x∈B∧x∈/​A)
若集合A不真包含与B，则可记为 A ⊈ B A \nsubseteq B A⊈B(下面的横线不写）

属于关系是个体与整体的关系
包含关系是部分与整体的关系

定理：两集合相等–互相包含的两个集合相等

设A，B是两个集合，A=B当且仅当 A ⊆ B 且 B ⊆ A A\subseteq B且B\subseteq A A⊆B且B⊆A

推论：一个集合是自己的子集

对于任意集合A， A ⊆ A A\subseteq A A⊆A

定理：包含的传递性

对于A，B，C集合，若 A ⊆ B 且 B ⊆ C 则 A ⊆ C A\subseteq B且B\subseteq C则A\subseteq C A⊆B且B⊆C则A⊆C

定义：全集与空集

在研究中，如果所讨论的集合都是某一固定集合 U U U的子集，那么称集合 U U U为全域集合或者全集，记做 U U U
U = { x ∣ P ( x ) ∨ ┐ P ( x ) } U=\{x|P(x)\vee \urcorner P(x)\} U={x∣P(x)∨┐P(x)}
不含有任何元素的集合称为空集 ∅ \varnothing ∅

定理:空集是任何集合的子集

A是任意集合， ∅ ⊆ A \varnothing\subseteq A ∅⊆A

定理:空集是惟一的

幂集

幂集的定义

集合A的全部子集的集合称为A的幂集，用 ρ ( A ) \rho(A) ρ(A)表示，即 ρ ( A ) = { X ∣ X ⊆ A } \rho(A)=\{X|X\subseteq A\} ρ(A)={X∣X⊆A}

基数的定义

有穷集合A的元素个数称为A的基数，记为#A

定理：幂集元素个数定理

设A是一个n元集合，A的基数为#A，则 # ρ ( A ) = 2 # A \# \rho(A)=2^{\#A} #ρ(A)=2#A

集合的运算

集合的交集∩

集合的并集∪

集合的补集 ~（绝对补）

集合的差集 -（相对补）

集合的对称差集+

文氏图描述

集合论基本概念与其运算

定理：集合交并运算

  1. 幂等律 同集合交或并不变
  2. 交换律 交并运算两端集合交换位置不变
  3. 结合律 三个集合交或者并，先算前两个或者先算后两个集合，结果不变
  4. 分配律 与两个集合交集的并集等于这个集合分别与两个集合取并集，将结果取交集；两个集合并集的交集等于这个集合分别与两个集合取交集，将结果取并集

定理：全集与空集的同一律与否定律

设全集 U U U,空集 ∅ \varnothing ∅,A是U的任意子集
同一律：
A ∪ ∅ = A A ∩ U = A A\cup \varnothing =A\\ A∩U=A A∪∅=AA∩U=A
否定律：
A ∩ ∼ A = ∅ A ∪ ∼ A = U A∩\sim A= \varnothing\\ A∪\sim A=U A∩∼A=∅A∪∼A=U

定理：一个集合是另一个集合的补集，当且仅当他们的并是全集且他们的交是空集

设A，B是全集U的子集， B = ∼ A ⇔ A ∩ B = ∅ 且 A ∪ B = U B=\sim A\Leftrightarrow A∩B=\varnothing 且A∪B=U B=∼A⇔A∩B=∅且A∪B=U

定理：de Morgan律

交的补等于补的并
并的补等于补的交
∼ ( A ∪ B ) = ∼ A ∩ ∼ B ∼ ( A ∩ B ) = ∼ A ∪ ∼ B \sim (A∪B)=\sim A∩\sim B\\ \sim(A∩B)=\sim A∪\sim B ∼(A∪B)=∼A∩∼B∼(A∩B)=∼A∪∼B

定理：子集的四个等价形式

A是B的子集，则A与B的交等于A，A与B的并等于B，A与B的相对补是空集
( 1 ) A ⊆ B ( 2 ) A ∪ B = B ( 3 ) A ∩ B = A ( 4 ) A − B = ∅ (1) A\subseteq B\\ (2)A∪B=B\\ (3)A∩B=A\\ (4)A-B=\varnothing (1)A⊆B(2)A∪B=B(3)A∩B=A(4)A−B=∅

定义：聚合的交并

—未完待续

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