矩阵的基础知识与公式（转置，逆，迹，行列式）
References:
MatrixCookBook(Version 2012) Chapter1
Chapter1: Basics
1 Basics
注：
A
H
{A^H}
AH是A的Transposed and complex conjugated matrix (Hermitian)，即转置复共轭矩阵。
1.1 矩阵的迹(Trace)
式子(11)表明矩阵的迹是主对角线元素的和。
式子(12)表明矩阵的迹是矩阵的特征值的和。
式子(13)表明矩阵的迹等于其转置矩阵的迹。
式子(14)表明AB的迹等于BA的迹。
式子(15)表明A+B的迹等于A的迹加B的迹。
式子(16)表明ABC的迹等于BCA的迹等于CAB的迹。
式子(17)表明一个nx1的向量a，a的转置乘以a所得的常数等于a乘以a的转置所得矩阵的迹。
1.2 行列式(Determinant)
前提：此处的A是nxn矩阵。
式子(18)表明矩阵的行列式等于特征值的连乘积。
式子(19)表明cA的行列式等于A的行列式的
c
n
{c^n}
cn倍。
式子(20)表明矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。
式子(21)表明矩阵AB的行列式等于矩阵A的行列式乘以矩阵B的行列式。
式子(22)表明矩阵
A
−
1
{A^{-1}}
A−1的行列式等于矩阵A的倒数。
式子(23)表明矩阵
A
n
{A^n}
An的行列式等于矩阵A的行列式的n次幂。
式子(24)表明如果u和v是nx1向量，那么
I
+
u
v
T
{I+uv^T}
I+uvT的行列式等于
1
+
u
T
v
{1+u^Tv}
1+uTv的值。
式子(25)表明如果A是2x2矩阵，I+A的行列式等于
1
+
d
e
t
(
A
)
+
T
r
(
A
)
{1+det(A)+Tr(A)}
1+det(A)+Tr(A),即1+A的行列式+A的迹。
式子(26)表明如果A是3x3矩阵，I+A的行列式等于
1
+
d
e
t
(
A
)
+
T
r
(
A
)
+
1
2
T
r
(
A
)
2
−
1
2
T
r
(
A
2
)
{1+det(A)+Tr(A)+\frac{1}{2}Tr(A)^2-\frac{1}{2}Tr(A^2)}
1+det(A)+Tr(A)+21Tr(A)2−21Tr(A2)。
式子(27)不表。
式子(28)表示对于微小扰动
ε
\varepsilon
ε，可以将
ε
A
\varepsilon A
εA近似作为2x2形式处理
1.3 特例：2x2矩阵
2x2矩阵有着以上的性质与结论。