【转】 聚类算法-Kmeans算法的简单实现

1. 聚类与分类的区别：

首先要来了解的一个概念就是聚类，简单地说就是把相似的东西分到一组，同 Classification (分类)不同，对于一个 classifier ，通常需要你告诉它“这个东西被分为某某类”这样一些例子，理想情况下，一个 classifier 会从它得到的训练集中进行“学习”，从而具备对未知数据进行分类的能力，这种提供训练数据的过程通常叫做 supervised learning (监督学习)，而在聚类的时候，我们并不关心某一类是什么，我们需要实现的目标只是把相似的东西聚到一起，因此，一个聚类算法通常只需要知道如何计算相似 度就可以开始工作了，因此 clustering 通常并不需要使用训练数据进行学习，这在 Machine Learning 中被称作 unsupervised learning (无监督学习)。

我们经常接触到的聚类分析，一般都是数值聚类，一种常见的做法是同时提取 N 种特征，将它们放在一起组成一个 N 维向量，从而得到一个从原始数据集合到 N 维向量空间的映射——你总是需要显式地或者隐式地完成这样一个过程，然后基于某种规则进行分类，在该规则下，同组分类具有最大的相似性。

　　假设我们提取到原始数据的集合为(x₁, x₂, …, x_n)，并且每个xi为d维的向量，K-means聚类的目的就是，在给定分类组数k（k ≤ n）值的条件下，将原始数据分成k类 
S = {S₁, S₂, …, S_k}，在数值模型上，即对以下表达式求最小值：

这里μ_i 表示分类S_i 的平均值。

说明：给定K，聚类完成后，对于每个类，对该类中的所有样本点到该类中心点的距离的平方求和，记为sum，对每个类都这样求和，然后把所有类的

sum加起来，总和记为SUM，聚类Kmeans算法就是要使得SUM最小。

　　那么在计算机编程中，其又是如何实现的呢？其算法步骤一般如下：

1、从D中随机取k个元素，作为k个簇的各自的中心。

2、分别计算剩下的元素到k个簇中心的相异度，将这些元素分别划归到相异度最低的簇。

3、根据聚类结果，重新计算k个簇各自的中心，计算方法是取簇中所有元素各自维度的算术平均数。

4、将D中全部元素按照新的中心重新聚类。

5、重复第4步，直到聚类结果不再变化。

6、将结果输出。

　　用数学表达式来说，

设我们一共有 N 个数据点需要分为 K 个 cluster ，k-means 要做的就是最小化

这个函数，其中  在数据点 n 被归类到 cluster k 的时候为 1 ，否则为 0 。即上面的J即为最上面的SUM，直接寻找  和  来最小化  并不容易，不过我们可以采取迭代的办法：先固定  ，选择最优的  ，很容易看出，只要将数据点归类到离他最近的那个中心就能保证  最小。下一步则固定 ，再求最优的 。将  对  求导并令导数等于零，很容易得到  最小的时候  应该满足：

其中  在数据点 n 被归类到 cluster k 的时候为 1，即上面的分母就是类cluster k中样本点数，而分子为该分类中所有样本点的和

亦即  的值应当是所有 cluster k 中的数据点的平均值。由于每一次迭代都是取到  的最小值，因此  只会不断地减小（或者不变），而不会增加，这保证了 k-means 最终会到达一个极小值。虽然 k-means 并不能保证总是能得到全局最优解，但是对于这样的问题，像 k-means 这种复杂度的算法，这样的结果已经是很不错的了。

2. 实现：

注：该实现用的是opencv中的一个函数：cvKMeans2函数

代码来源：http://www.cnblogs.com/moondark/archive/2012/03/08/2385870.html

1. </pre><p></p><p style="margin:15px auto 10px; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:22px; text-align:justify"></p><pre code_snippet_id="500422" snippet_file_name="blog_20141029_2_1547356" name="code" class="cpp" style="font-family: 'Lucida Grande', 'Lucida Sans Unicode', Helvetica, Arial, Verdana, sans-serif; font-size: 14px; ">#ifdef _CH_
2. #pragma package <opencv>
3. #endif
4. #define CV_NO_BACKWARD_COMPATIBILITY
5. // opencv函数手册：http://wiki.opencv.org.cn/index.php/Cxcore数组操作#.E9.9A.8F.E6.9C.BA.E6.95.B0.E7.94.9F.E6.88.90
6. // 代码来源：http://www.cnblogs.com/moondark/archive/2012/03/08/2385870.html
7. #include "opencv/cv.h"
8. #include "opencv/highgui.h"
9. #include <stdio.h>
10. int main( int argc, char** argv )
11. {
12. #define MAX_CLUSTERS 5    //设置类别的颜色，个数（《=5）
13. CvScalar color_tab[MAX_CLUSTERS];
14. IplImage* img = cvCreateImage( cvSize( 500, 500 ), 8, 3 ); //8位，3通道
15. CvRNG rng = cvRNG(-1); //4位的有符号数，若4位全为1，则值为-1，即A=1111,A=-1,当转换为无符号数时，则为最大
16. CvPoint ipt;
17. color_tab[0] = CV_RGB(255,0,0); //每个类别的颜色标志
18. color_tab[1] = CV_RGB(0,255,0);
19. color_tab[2] = CV_RGB(100,100,255);
20. color_tab[3] = CV_RGB(255,0,255);
21. color_tab[4] = CV_RGB(255,255,0);
22. cvNamedWindow( "clusters", 1 );
23. for(;;)
24. {
25. char key;
26. int k, cluster_count = cvRandInt(&rng)%MAX_CLUSTERS + 1; //聚类的类别数随机生成，在[1,5]范围内
27. int i, sample_count = cvRandInt(&rng)%1000 + 1; //样本个数
28. CvMat* points = cvCreateMat( sample_count, 1, CV_32FC2 ); //生成sample_count行，1列且数据类型为32位浮点双通道的数组，样本点数组
29. CvMat* clusters = cvCreateMat( sample_count, 1, CV_32SC1 );//生成sample_count行，1列且数据类型为32位有符号数单通道的数组，每个样本对应的类别标识数组
30. cluster_count = MIN(cluster_count, sample_count); //聚类的类别数
31. /** generate random sample from multigaussian distribution,用多维高斯分布即正态分布来生成随机数 */
32. for( k = 0; k < cluster_count; k++ )
33. {
34. CvPoint center;
35. CvMat point_chunk;
36. center.x = cvRandInt(&rng)%img->width;
37. center.y = cvRandInt(&rng)%img->height;
38. /*
39. GetRow, GetRows
40. 返回数组的一行或在一定跨度内的行
41. CvMat* cvGetRow( const CvArr* arr, CvMat* submat, int row );
42. CvMat* cvGetRows( const CvArr* arr, CvMat* submat, int start_row, int end_row, int delta_row=1 );
43. arr
44. 输入数组。
45. submat
46. 指向返回的子数组头的指针。
47. row
48. 被选定行的索引下标，索引下标从0开始。
49. start_row
50. 跨度的开始行（包括此行）索引下标，索引下标从0开始。
51. end_row
52. 跨度的结束行（不包括此行）索引下标，索引下标从0开始。
53. delta_row
54. 在跨度内的索引下标跨步，从开始行到结束行每隔delta_row行提取一行。
55. */
56. cvGetRows( points, &point_chunk, k*sample_count/cluster_count,
57. k == cluster_count - 1 ? sample_count :
58. (k+1)*sample_count/cluster_count, 1 );
59. /*
60. RandArr
61. 用随机数填充数组并更新 RNG 状态
62. void cvRandArr( CvRNG* rng, CvArr* arr, int dist_type, CvScalar param1, CvScalar param2 );
63. rng
64. 被 cvRNG 初始化的 RNG 状态.
65. arr
66. 输出数组
67. dist_type
68. 分布类型:
69. CV_RAND_UNI - 均匀分布
70. CV_RAND_NORMAL - 正态分布 或者 高斯分布
71. param1
72. 分布的第一个参数。如果是均匀分布它是随机数范围的闭下边界。如果是正态分布它是随机数的平均值。
73. param2
74. 分布的第二个参数。如果是均匀分布它是随机数范围的开上边界。如果是正态分布它是随机数的标准差。
75. */
76. cvRandArr( &rng, &point_chunk, CV_RAND_NORMAL,
77. cvScalar(center.x,center.y,0,0),
78. cvScalar(img->width*0.1,img->height*0.1,0,0));
79. }
80. /** shuffle samples 即随机打乱样本*/
81. for( i = 0; i < sample_count/2; i++ )
82. {
83. CvPoint2D32f* pt1 = (CvPoint2D32f*)points->data.fl + cvRandInt(&rng)%sample_count;
84. CvPoint2D32f* pt2 = (CvPoint2D32f*)points->data.fl + cvRandInt(&rng)%sample_count;
85. CvPoint2D32f temp;
86. CV_SWAP( *pt1, *pt2, temp );
87. }
88. // 使用Kmeans聚类
89. /*
90. int cvKMeans2(const CvArr* samples, int nclusters,
91. 　　　　　　　 CvArr* labels, CvTermCriteria termcrit,
92. 　　　　　　　 int attempts=1, CvRNG* rng=0,int flags=0,
93. 　　　　　　　 CvArr* centers=0,double* compactness=0);
94. 由于除去已经确定的参数，我们自己需要输入的为：
95. void cvKMeans2(
96. 　　const CvArr* samples, //输入样本的浮点矩阵，每个样本一行。
97. 　　int cluster_count,  //所给定的聚类数目
98. 　　* labels,    //输出整数向量：每个样本对应的类别标识
99. 　　CvTermCriteria termcrit //指定聚类的最大迭代次数和／或精度（两次迭代引起的聚类中心的移动距离）
100. );
101. */
102. // 输出迭代数
103. printf( "iterations=%d\n", cvKMeans2( points, cluster_count, clusters,
104. cvTermCriteria( CV_TERMCRIT_EPS+CV_TERMCRIT_ITER, 10, 1.0 ),
105. 5, 0, 0, 0, 0 ));
106. cvZero( img );
107. for( i = 0; i < sample_count; i++ ) // 依照样本所属的类别，以不同的颜色画出样本点
108. {
109. int cluster_idx = clusters->data.i[i];
110. ipt.x = (int)points->data.fl[i*2];
111. ipt.y = (int)points->data.fl[i*2+1];
112. cvCircle( img, ipt, 2, color_tab[cluster_idx], CV_FILLED, CV_AA, 0 );
113. }
114. cvReleaseMat( &points );
115. cvReleaseMat( &clusters );
116. cvShowImage( "clusters", img );
117. key = (char) cvWaitKey(0);
118. if( key == 27 || key == 'q' || key == 'Q' ) // 'ESC'
119. break;
120. }
121. cvDestroyWindow( "clusters" );
122. return 0;
123. }

效果如下：

转：http://blog.****.net/damotiansheng/article/details/40582211