【深度学习知识点扫盲】病态、病态条件

【深度学习知识点扫盲】病态、病态条件

文章目录

• 【深度学习知识点扫盲】病态、病态条件
• • 花书内容
  • 1. 概念定义
  • • 1.1 病态/ 良态问题
    • 1.2 适定/ 非适定问题
  • 2.数学解释
  • • 2.1 良态/病态矩阵
    • 2.2 机器学习和条件数
    • 2.3 病态的根源
    • • 2.3.1 示例
      • 2.3.2 特征值和特征向量
      • 2.3.3 机器学习中的应用
  • 参考资料

花书内容

先看看花书大致的内容如下：

关于病态，书中多次提及这个概念，实际上，在CV领域大部分问题都是非适定问题（ill-posed problem）。但是书中对其的解释却不是很直观。当（4.2）式的值很大的时候，一种比较有特点的网络就是这个样子：

对于这样的网络，训练中存在的问题是对于不同的权重参数，需要的学习率可能不同，对于平坦的误差曲面需要较大的学习率来加速收敛，而这个较大的学习率可能在错误曲面的峡谷区发散，此时单一学习率的方法不能很好地训练模型。

推荐一个优秀的博客。我这里对其内容进行一个大致的整理。

1. 概念定义

1.1 病态/ 良态问题

病态问题（ill-conditioned problem）：问题的解关于条件非常敏感。条件（或数据）中即使存在极微妙的噪声，也会对问题的解造成剧烈的变化。
反之，关于条件不敏感的问题，我们称之为良态问题（well-conditioned problem）。

显然，我们能把这两个概念拓展至病态/ 良态系统（算法），“条件”即系统的输入，“问题的解”即系统的输出。
举一些例子：

• 人体体温调控系统是良态的，因为体表温度微小的变化也只会带来微小的体温调控；
• 汽车动力系统是良态的，因为微踩油门时，汽车动力也只会稍作改变。

再延伸至机器学习算法：

• 如果一个算法对噪声非常敏感，即病态的，那么其健壮性（robustness）也不佳（健壮性就是说系统抗扰动的能力）。
• 如果一个算法是过拟合的，那么该算法一定是病态的。

1.2 适定/ 非适定问题

**适定问题（ill-posed problem）**的定义来源于1903年哈达玛（Hadamard）的演讲：一个问题是适定的，当其满足以下3个条件：

1. 解存在；
2. 解是唯一的；
3. 解连续依赖于输入（解随着初始条件的改变而连续改变）（The solution depends continuously on the input）。

只要不满足其中一个条件，那么该问题就是非适定的（ill-posed）。

注意：（非）适定问题既可以是良态的，也可以是病态的。

2.数学解释

2.1 良态/病态矩阵

2.2 机器学习和条件数

2.3 病态的根源

既然已经定义了条件数，定义了什么是病态，什么是良态，我们不禁会想，引起病态的根源是什么，或者说什么样的矩阵具备病态特征。
当然，你可能会说，前面不是定义了条件数较大的矩阵属于病态矩阵吗，这不是多此一问吗？
过大的条件数会导致矩阵病态只是我们的结论，并不是根本的原因。最根本的原因在于矩阵的列之间的相关性过大。

2.3.1 示例

2.3.2 特征值和特征向量

可以看出，输入分别沿着两个特征向方向增加1%后，而特征向量ξ₁、ξ₂对应的特征值（λ₁=1300）远大于特征向量ξ₂对应的特征值（λ₁=1.57）。

因此，当矩阵的特征值差异过大时，即使输入沿着较大特征值的方向有微小的改变，也会导致最终的输出结果的较大改变。 原因很简单，较大的特征值意味着对应特征方向上较大的*度。

2.3.3 机器学习中的应用

参考资料

1. 《深度学习》（花书）
2. https://blog.****.net/foolsnowman/article/details/51614862
3. https://flat2010.github.io/2018/06/30/%E7%97%85%E6%80%81%E9%97%AE%E9%A2%98%E5%8F%8A%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%95%B0/