1．傅里叶分析
傅里叶分析可以分为 关于周期信号的傅里叶级数 和 关于非周期信号的傅里叶变换 两个部分
1.1 周期函数的傅里叶级数
任何一个周期信号f(t)都可以写成一些列正/余弦函数的和，如图1所示，多个正弦函数组合形成一个方波。
图1 多个正弦函数组成方波
放在三维中观察这个图像，如图2所示，从时间域方向上看，映射为以时间为横坐标时域图像；从频率方向上看，映射到频域上，为各个正弦函数的幅度谱。
图2 多个正弦函数组成方波的三维图像
，这便是三角函数式傅里叶级数的表示。
由神奇的欧拉公式 
整理
，
分别带入三角函数式傅里叶级数表示公式中，得到
，其中Fn为复数
，这便是指数形式的傅里叶级数表达式。通过欧拉公式将正弦波统一成了简单的指数形式，保留了二维信息。
指数傅里叶级数的图像如图3所示，w0表示基频率，
，只需要把Fn的值乘以对应的复指数，即可得到
=…+
+
+
+…
图3 指数傅里叶级数的图像表示
1.2非周期函数的傅里叶变换
周期信号的傅里叶级数可以得出，可以通过把非周期信号认为是周期为
的周期信号，建立两者的关系。
周期信号的傅里叶变换的到离散谱，非周期信号相当于把一个周期看成无穷大，进行傅里叶变换得到的是连续谱。
： 
：
带入周期信号的指数形式的傅里叶级数表达式
=
，得
其中
即为非周期信号的傅里叶变换表达式，其逆变换为
1.3傅里叶变换的应用
因为可以得到信号的频谱图像，即可区分出低频、高频部分，可以实现滤波。
2．离散傅里叶变换DFT
傅里叶变换在理论上解决了如何从时域映射到频域，但是实际情况下无法直接运算。以下四种信号中，只有离散周期信号的傅里叶变换可以计算，由时域抽样定理和频域抽样定理可以实现这四种信号的转换。以连续非周期信号为例，经过时域离散化，周期化可以得到离散周期信号，即可进行计算。
把离散周期信号的频谱图像中的一个周期取出来，可以分析其频谱特性，叫做DFT。
但是实现x[k]的DFT，需要执行N*N次复数相乘，N(N-1)次复数相加，运算量非常大！
3．快速傅里叶变换FFT
FFT是DFT的一种快速算法，解决DFT运算量巨大的问题。
为了便于表示，令W=e-j2πN,即 
，以4个点FFT为例，用矩阵表示为：
利用其对称性、周期性、可约性进行分解，减少运算量。
= 
+
= 
+ 
=
+
= 
+ 
以8个点FFT为例，由蝶形运算，当点数N= 2L
时，共有L级蝶形运算，最终都可以分解为两点FFT。
4．FFT滤波器
设计FFT滤波器的思路：
利用FFT分析信号频谱，即在时域对信号进行加窗截短，由于两个端点处突然加窗截断，使得频谱中存在一些幅度较大的高频旁瓣分量，存在频谱泄露。
有些知识学起来不那么快，忘起来特别快，整理出来留着用时回忆，借用了网上大佬一些图片，侵删