多变量可能存在信息的重叠，人们希望通过克服相关性、重叠性，用较少的变量来代替原来较多的变量，而这种代替可以反映原来多个变量的大部分信息，即“降维”的思想。
一、几何理解
我们从几何上出发进行推导。
PCA从几何上看，就是将高维空间的数据正交投影到低维子空间，同时保留尽可能多的信息。
首先来看二维的情况，我们有以下已经中心化的数据（中心化不改变数据的相对位置，且便于后续处理计算）。
我们尝试为其拟合一条线，首先绘制一条穿过原点的随机线：
然后旋转线，使它尽可能的拟合数据，最终得到拟合最好的线：
PCA如何判别这种拟合度的高低？
PCA将数据投影到该线上，然后测量数据到线的距离，尝试找到距离最小的拟合线。
同时也可以发现，数据到线的距离最小，也就是投影点到原点的距离最大。我们可以使用勾股定理来理解这两种方法的等价：
如图所示，数据到原点的距离不变，即a不变，由a2=b2+c2有b与c此消彼长。因此，数据点到拟合线的投影长度越小，投影点到原点的距离最大。
由以上可以推广得到，PCA要使得降维后的数据与原数据拟合最好，即保留最多的信息，需要具有这样的性质：
（1）最近重构性：样本点到这个超平面的距离足够近
（2）最大可分性：样本点在这个超平面的投影尽可能分开
相应的PCA的推导有两个方向：（1）最小化降维造成的损失（2）最大方差。这两者是等价的，从上面的二维情况我们可以理解到，从后面的推导也可以看出。
二、最大化方差
最大化方差即使投影后的方差最大
假定数据为
且均值为0(即将数据已进行中心化处理)
1.内积的定义
2.正投影向量
即正投影长度乘单位向量为投影向量。
若v为单位向量，即长度为1，则有
若将v向量所在方向当作新的坐标轴，xj投影后的坐标就是内积：
3.推导
由上面的推导有，数据在经过投影后坐标为：
投影后的方差即为：
可以看到，S为样本协方差。因此得到第一主成分就是要找：
使用拉格朗日乘子法有：
因此优化目标即为：
由上述推导可看出lambda即为S的特征值，v为对应的单位化特征向量。此时，
因此，投影方向的方差，也就是特征值的大小，要使投影后的方差最大，投影方向应为最大特征值对应的特征向量的方向，这就是第一主成分的方向。因为S是实对称矩阵，不同特征值所对应的特征向量之间两两正交，因此，第二主成分方向即为S的第二大特征值所对应的特征向量的方向，以此类推。
三、最小化降维损失
将高维（d维）数据投影到低维（d prime）子空间，
假定投影变换后的标准正交基为：
则投影到低维空间上的数据一定可以由这一组基表示：
其中，
为在低维坐标系中的坐标。使xi在低维坐标系下第j维的坐标。
是xi在低维坐标系下第j维的坐标。
又因为wi为标准正交基向量，所以有
因此要使降维后的损失最小：
其中，
因此优化目标即为：
或者：
求解方法与结果最大方差法相同。