练习题
(1)选择题
1.函数z=1x+y − − − − √ +1x−y − − − − √ 的定义域图形是( B )
2.下列函数为同一函数的是( D )
A.f(x,y)=x 2 y 2 − − − − √ 与g(x,y)=(xy − − √ ) 2
B.f(x,y)=x 2 y 2 −1xy−1 与g(x,y)=xy+1
C.f(x,y)=ln(xy) 1 与g(x,y)=lnx+lny
D.f(x,y)=ln(xy) 2 与g(x,y)=2ln|xy|
解:A.f(x,y)的定义域x,y为任意实数g(x,y)的定义域x.y为同号实数B.f(x,y)要求xy≠1,g(x,y)无xy≠1限制C.f(x,y)要求xy>0,g(x,y)要求x>0且y>0D.只要xy≠0,f(x,y)与g(x,y)都有定义。
3.设f(x−y,yx )=x 2 −y 2 ,则f(x,y)=( A )
A.x 2 (1+y)1−y B.x 2 (1−y)1+y C.y 2 (1+x)1−x D.y 2 (1−x)1−x
解:令u=x−y,v=yx y=vxu=x(1−v)x=u1−v y=uv1−v f(u,v)=(u1−v ) 2 −(uv1−v ) 2 =u 2 (1−v 2 )(1−v) 2 =u 2 (1+v)1−v 即f(x,y)=x 2 (1+y)1−y
4.设f(x,y)=x+yxy ,则f(x+y,x−y)=( B )
A.2xy 2 −x 2 B.2xx 2 −y 2 C.xx 2 −y 2 D.2yx 2 −y 2
解:f(x+y,x−y)=(x+y)+(x−y)(x+y)(x−y) =2xx 2 −y 2
5.设函数z=f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )的某个邻域内有定义,且存在一阶偏导数,则∂z∂x ∣ ∣ ∣ (x 0 ,y 0 ) =( B )
A.lim Δx→0 f(x 0 +Δx)−f(x 0 )Δx
B.lim Δx→0 f(x 0 +Δx,y 0 )−f(x 0 ,y 0 )Δx
C.lim Δx→0 f(x 0 ,y 0 +Δx)−f(x 0 ,y 0 )Δx
D.lim Δx→0 f(x 0 +Δx,y 0 +Δx)−f(x 0 ,y 0 )Δx
6.已知f(x+y,xy)=x 3 +y 3 ,则∂f(x,y)∂x +∂f(x,y)∂y =( A )
A.3x 2 −3(x+y)B.3x 2 +3(x+y)C.3x 2 −3(x−y)D.3x 2 −3(x−y)
解:f(x+y,xy)=x 3 +y 3 =(x+y)(x 2 +y 2 −xy)=(x+y)[(x+y) 2 −3xy]=(x+y) 3 −3(x+y)(xy)即f(x,y)=x 3 −3xy∂f(x,y)∂x +∂f(x,y)∂y =(3x 2 −3y)+(−3x)=3x 2 −3(x+y)
7.设函数z=x 2 +y 2 ,则原点O(0,0)( D )
A.不是驻点B.是驻点但不是极值点C.是驻点且是极大值D.是驻点且是极小值
解:令F(x,y,z)=z−x 2 −y 2 =0F ′ x =−2xF ′ y =−2yF ′ z =1f ′ x =−F ′ x F ′ z =2xf ′ y =−F ′ y F ′ z =2y2x=0,2y=0,解得(0,0)是驻点f ′′ xx =2f ′′ xy =0f ′′ yy =2AC−B 2 =4>0,A=2>0,该处为极小值点
8.设z=cos(x 2 y),则∂ 2 z∂y 2 =( D )
A.x 2 sin(x 2 y)B.−x 2 sin(x 2 y)C.x 4 cos(x 2 y)D.−x 4 cos(x 2 y)
解:∂z∂y =−sin(x 2 y)⋅x 2 ∂ 2 z∂y 2 =−x 2 cos(x 2 y)⋅x 2 =−x 4 cos(x 2 y)
(二)填空题
1.设z=xy − − √ ,则∂z∂x ∣ ∣ ∣ (1,1) = 12 − − − −
解:∂z∂x =y √ 2x √ ∂z∂x ∣ ∣ ∣ (1,1) =12
2.设z=arccot(x+y),则∂z∂y = −11+(x+y) 2 − − − − − − − − − − − − − −
3.设z=tan(xy−x 2 ),则∂z∂x = (y−2x)csc 2 (xy−x 2 ) − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
∂z∂x =sec 2 (xy−x 2 )⋅(y−2x)=(y−2x)csc 2 (xy−x 2 )
4.设z=x 2 −y 2 − − − − − − √ ,则∂ 2 z∂x∂y = xy(x 2 −y 2 )x 2 −y 2 − − − − − − √ − − − − − − − − − − − − − − − − − −
∂z∂x =12x 2 −y 2 − − − − − − √ ⋅2x=xx 2 −y 2 − − − − − − √ ∂ 2 z∂x∂y =−x(−2y)2(x 2 −y 2 )x 2 −y 2 − − − − − − √ =xy(x 2 −y 2 )x 2 −y 2 − − − − − − √
5.设z=xy 2 +e xy ,则∂ 2 z∂x∂y = 2y−x+yy 3 e xy − − − − − − − − − − − − −
解:∂z∂x =y 2 +e xy ⋅1y ∂ 2 z∂x∂y =2y+e xy ⋅(−xy 2 )⋅1y +e xy ⋅(−1y 2 )=2y−x+yy 3 e xy
6.设z=x y +lnxy − − √ ,则∂z∂y = x y lnx+12y − − − − − − − − − − − −
∂z∂y =x y ⋅lnx+1xy − − √ ⋅12xy − − √ ⋅x=x y lnx+12y
7.设z=(lny) xy ,则∂z∂x = y(lny) xy ln(lny) − − − − − − − − − − − − − − −
解:∂z∂x =(lny) xy ⋅ln(lny)⋅y
8.设z=(x+2y) 3x ,则∂z∂y = 6x(y+2x) 3x−1 − − − − − − − − − − − − − −
解:令u=x+2y,v=3x,则z=u v ∂z∂y =∂z∂u ∂u∂y +∂z∂v ∂v∂y =vu v−1 ⋅2+u v ⋅lnu⋅0=(3x)(y+2x) 3x−1 ⋅2+0=6x(y+2x) 3x−1
9.设z=arcsinyx ,则∂z∂x = −y|x|x 2 −y 2 − − − − − − √ − − − − − − − − − − − − − −
解:∂z∂x =11−(yx ) 2 − − − − − − − √ ⋅(−yx 2 )=−y|x|x 2 −y 2 − − − − − − √
10.设z=e xy −sin(2x−y),则dz= [ye xy −2cos(2x−y)]dx+[xe xy +cos(2x−y)]dy − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
解:∂z∂x =ye xy −2cos(2x−y)∂z∂y =xe xy +cos(2x−y)dz=[ye xy −2cos(2x−y)]dx+[xe xy +cos(2x−y)]dy
11.设z=e x 2 +xy 2 ,则dz= [e x 2 +xy 2 ⋅(2x+y 2 )]dx+2xye x 2 +xy 2 dy − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
解:∂z∂x =e x 2 +xy 2 ⋅(2x+y 2 )∂z∂y =e x 2 +xy 2 ⋅2xydz=[e x 2 +xy 2 ⋅(2x+y 2 )]dx+2xye x 2 +xy 2 dy
12.设f(u,v)有连续的一阶偏导数,而z=f(x,xy ),则∂z∂x = ∂f∂u +1y ∂f∂v − − − − − − − − − − −
解:令u=x,v=xy ,则∂z∂x =∂f∂u ∂u∂x +∂f∂v ∂v∂x =∂f∂u ⋅1+∂f∂v ⋅1y =∂f∂u +1y ∂f∂v
