s型函数

S型函数

性质1：导数最大值的求解

$f(x)=\frac{A}{1+e^{a-bx}}$f(x)=1+ea−bxA​
对$f(x)$f(x)求导的$\frac{df}{dx}=\frac{Abe^{a-bx}}{(e^{a-bx}+1)^2}=\frac{Ab}{[(e^{a-bx})^\frac{1}{2}+(e^{a-bx})^{-\frac{1}{2}}]^2}$dxdf​=(ea−bx+1)2Abea−bx​=[(ea−bx)21​+(ea−bx)−21​]2Ab​
由$(e^{a-bx})^{\frac{1}{2}}\ge0$(ea−bx)21​≥0和$(e^{a-bx})^{-\frac{1}{2}}\ge0$(ea−bx)−21​≥0可以满足以下条件:
$(e^{a-bx})^{1/2}+（e^{a-bx})^{-1/2}\ge \sqrt{(e^{a-bx})^{1/2}\times(e^{a-bx})^{-1/2}}=2$(ea−bx)1/2+（ea−bx)−1/2≥(ea−bx)1/2×(ea−bx)−1/2​=2当$(e^{a-bx})^{1/2}=(e^{a-bx})^{-1/2}$(ea−bx)1/2=(ea−bx)−1/2时取得$"="$"="
所以$(e^{a-bx})^{1/2}+(e^{a-bx})^{-1/2}$(ea−bx)1/2+(ea−bx)−1/2最小值为$2$2
$f'(x)=\frac{Ab}{[(e^{a-bx})^{1/2}+(e^{a-bx})^{-1/2}]}\leq{ \frac{Ab}{4}}$f′(x)=[(ea−bx)1/2+(ea−bx)−1/2]Ab​≤4Ab​

性质2：中心对称的证明

关于点$(x_0,y_0)$(x0​,y0​)中心对称函数满足性质$f(x_0+x)+f(x_0-x)=2y_0$f(x0​+x)+f(x0​−x)=2y0​
假设$s$s型函数的中心对称，且关于点$(\frac{a}{b},\frac{A}{2})$(ba​,2A​)中心对称则满足
$f(\frac{a}{b}+x)+f(\frac{a}{b}-x)=\frac{A}{1+e^{-bx}}=A……（1）$f(ba​+x)+f(ba​−x)=1+e−bxA​=A……（1）
易得
$f(\frac{a}{b}+x)+\frac{A}{1+e^{a-b(\frac{a}{b}+x)}}=\frac{A}{1+e^{-bx}}=\frac{Ae^{bx}}{1+e^{bx}}……(2)$f(ba​+x)+1+ea−b(ba​+x)A​=1+e−bxA​=1+ebxAebx​……(2)
$f(\frac{a}{b}-x)+\frac{A}{1+e^{a-b(\frac{a}{b}-x)}}=\frac{A}{1+e^{bx}}……（3）$f(ba​−x)+1+ea−b(ba​−x)A​=1+ebxA​……（3）
由（2）和（3）式子的（1）式成立
既：s型函数关于点$(\frac{a}{b},\frac{A}{2})$(ba​,2A​)对称

性质3：经过定点 $(0,\frac{A}{1+e^a})$(0,1+eaA​)

当多组$f(x)=\frac{A}{1+e^{a-bx}}$f(x)=1+ea−bxA​函数中参数A,a相同参数b不同则函数同过点$(0,\frac{A}{1+e^a})$(0,1+eaA​)