定义
设X是数域K上的线性空间，若映射|| · ||：X －> R满足范数公理：对任意x，y∈X。任意λ∈K，有
（N1）正定性：|| x || ≥ 0且|| x || = 0 ⇔ x=0
（N2）齐次性：|| λx || = |λ| ||x||
（N3）三角不等式：||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||
则称|| · ||是线性空间X上的一种范数。对应的（X，|| · ||）称为赋范线性空间，简称赋范空间。
意义
范数为赋范空间中的概念，通常借以研究赋范空间的性质，赋范空间中序列的收敛性与映射的连续性。但它对于我们而言更常用的部分是由其导出的度量，我们可以使用它度量不同元素之间的距离。
特别的有
- 向量范数
- 算子范数
- 矩阵的范数
- 方阵范数
- 方阵的算子范数
下面进行详细区分。
向量范数
（1）向量的1-范数，即
（2）向量的1-范数，即
（3）向量的∞-范数，即
算子范数
设T:(X,|| x ||)－>(Y,|| x ||)是有界线性算子，称
为有界线性算子T的范数，或T的算子范数。（更多有关线性算子定义，参考添加链接描述）
矩阵的范数和方阵范数
方阵范数一定是矩阵的范数，矩阵的范数不一定是方阵范数（矩阵的范数要满足次乘性（矩阵乘积的范数小于矩阵范数的乘积）才称作方阵范数，方阵范数定能找到与之相容的一种向量范数）。常见的方阵的范数有m，q，F范数，行范数，列范数。
方阵的算子范数
介绍该部分需要明确关于方阵的谱半径的知识，参考添加链接描述。
方阵的算子范数是由向量的三种范数导出的，它属于方阵范数，满足次乘性，由于比较常用，所以单列出来，具体的：
欢迎补充指正，xx。