学习 Hybrid Beamforming for Millimeter Wave Systems Using the MMSE Criterion

链接: https://github.com/TianLin0509/Hybrid-Beamforming-for-Millimeter-Wave-Systems-Using-the-MMSE-Criterion.

Hybrid Beamforming for Millimeter Wave Systems Using the MMSE Criterion

Author : 林田

摘要：

1. 首先提出了 ** manifold optimization-based HBF ** algorithm is first proposed， which is directly handled the constant modulus constrains of the analog component and proved its convergence.
2. For narrowband scenario, propose a low-complexity general eigenvalue decomposition-based HBF algorithm
3. For broadband scenario, propose three algorithms via the eigenvalue decomposition and orthogonal matching pursuit (正交匹配追踪）

Contributions

• aiming at minimizing the modified MSE .

在宽带场景下，挑战是 数字预编码 should be optimized for == different subcarriers == while the ** analog one ** is == invariant== for the whole frequency band. (数字需要根据不同的子载波设计，而模拟在整个频带中是保持不变的）。

1. 分解原始的 sum-MSE 最小化问题为 传输混合预编码 和接受合并设计两个子问题，分析发现两个子问题可以统一为几乎相同的表达式。
2. 首先针对模拟预编码的常量模约束，采用MO方法。 不同于论文[18] X. Yu, J.-C. Shen, J. Zhang, and K. B. Letaief, “Alternating minimization algorithms for hybrid precoding in millimeter wave MIMO systems,”中采用的MO方法最小化混合预编码与全数字预编码之间的Euclidean 距离，本文采用MO直接最小化 sum-MSE。并且推出了更加复杂的Euclidean 共轭梯度。
3. 为了降低MO算法的复杂度，提出了几个低复杂度的算法，在窄带场景，展现了模拟波束成形可以以 列到列的优化方式采用GEVD（general eigen-decomposition) 方法求解。
4. 在宽带场景下，求出了原始目标函数的上界与下界，提出了两种基于eigen-decomposition (EVD)的算法。

场景建模

端到端的窄带毫米波MIMO场景：

通过Nt个发送天线以及Nr个接收天线对Ns个数据流进行传输。Ns X 1 的数据流首先经过基带数字预编码然后通过模拟预编码VRF。

problem Formulation

本文采用最小化MSE作为优化目标：

这个MSE也被称为 ** modified MSE** ，其中$\beta$β为标量因子，与混合预编码一起优化，物理意义上是将接收到的信号放大/缩小一定的幅度， 使之更接近于原始信号。。 那么为什么要引入$\beta$β这个因子呢？

• 第一， 在传统的MIMO波束成形研究中， 在设计预编码矩阵的时候， 如果以原始的MSE（无$\beta$β）为目标， 会发现预编码矩阵的设计与噪声能量无关！ 这其实不符合MSE的初衷。 而如果引入ββ， 预编码矩阵的解就与噪声能量相关， 也因此可以达到更合理的性能。
• 第二， 从数学意义上而言， 混合波束成形问题中，需要求解四个矩阵，愈发复杂。 而以传统MSE为目标求解的时候， 考虑发送的功率约束， 需要引入拉格朗日乘子， 这个乘子非常难求，且影响后续对其他矩阵的设计。 而引入$\beta$β后， 后面的推导会证明大大简化了数学求解难度。
• 第三， 引入$\beta$β后， 可以使得 固定接收端解发送端 和 固定发送端解接收端 两个子问题可以化为完全一致的形式， 也就可以用同样的算法来求解了。
• （以上分析转载于作者，链接:
  https://blog.csdn.net/weixin_39274659/article/details/108208409）.
  在研究点到点的传输系统中，接收端也会有波束赋形的操作，因此scaling也可以视为在接收端完成。通过调整这个参数$\beta$β以获得更好的结果，同时能调整总传输能量约束。
  求解MSE:
  
  可以发现在噪声项中也有参数$\beta$β。
  同时模拟预编码端需要满足 每一个元素都要为连续模约束: $|[V_{RF}]_{ik}|=1$∣[VRF​]ik​∣=1
  

问题求解

原式中存在五个变量，因此考虑分解为两个子问题。

混合传输设计

首先考虑优化混合预编码以及$\beta$β参数。原始$V_B$VB​可以分解为$V_B=\beta V_u$VB​=βVu​，其中$V_U$VU​是一个没有归一化的基带预编码。固定了W后，可以得到等效信道 $H_1=H^H W_RF W_B$H1​=HHWR​FWB​。

• 优化算法首先固定$V_{RF}$VRF​找到最优的数字预编码$V_U$VU​，以及$\beta$β，然后更新目标函数为$V_{RF}$VRF​，最终进一步通过最小化目标函数以及连续模约束优化$V_{RF}$VRF​。
  
  可以发现第一个约束的等号一定成立，因此可以计算处
  $\beta=（V_{RF} V_U V_V^H V_{RF}^H）^{-1/2}$β=（VRF​VU​VVH​VRFH​）−1/2
  利用KKT条件，即将$\beta$β带入到目标函数中求导即可计算$V_U$VU​的封闭式解。带回原式推导得到基于$V_{RF}$VRF​的MSE表达式
  

流行算法

求导过程

MO方法：为了能够处理连续模约束，Mo方法可以用于获得局部最优$V_{RF}$VRF​.。
流行优化也叫黎曼优化。

• 本质上是一种梯度下降法， 然而基本的梯度下降法是在整个欧式空间中进行下降， 因此无法保证下降后的解仍满足 恒模约束， 所以无法直接用于求解$V_{RF}$VRF​ 。
• 而流形优化， 则是首先将满足恒模约束的所有可行解表示为一个流形， 其后每步迭代后都将解映射回这个流形之上， 也因此可以确保结果永远满足恒模约束。
• 最重要的是， 已经有严谨的数学证明了这样的迭代过程是严格收敛的， 因此可以将 流形优化 理解为 在可行集上进行下降的梯度下降法。
• 要想使用流形优化， 你需要求解目标问题的梯度， 然后就可以在这个框架下用下降法求出一个解了。
  
  步骤4详解：
• step1： 投影Euclidean梯度到切线空间上以获得Riemannian梯度。
• step2： 在切线空间中沿着Riemannian梯度寻找最优点，采用Armijo-Goldstein确定步长
• 将寻找到的最优点缩回到流型中。

然而这个流形算法是基于梯度运算的，因此会产生很高的计算复杂度。

GEVD 方法

对于大尺度MIMO系统， 不同波束流的最优的模拟预编码彼此之间是相互正交的，因此有$V_{RF}^H V_{RF} \approx N_t I_{N_{RF}}$VRFH​VRF​≈Nt​INRF​​ （注意顺序）
所以基于$V_{RF}$VRF​的MSE可以简化为：
$J(V_{RF})=tr((I_{N_S} +\frac{1}{\sigma^2 w}H_1^HV_{RF}V_{RF}^HH_1)^{-1})$J(VRF​)=tr((INS​​+σ2w1​H1H​VRF​VRFH​H1​)−1)