11. 分布函数

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• 分布函数
• 分布函数的用途

分布函数

定义： 随机变量 $X$X，对任意实数 $x$x，称函数

$F(x)=P(X\leq x)$F(x)=P(X≤x)

为 $X$X 的概率分布函数，简称分布函数。

说明：

• 任何随机变量都有相应的分布函数
• $F(x)$F(x)的几何意义。

$F(x)=P(X\in (-\infty, x])$F(x)=P(X∈(−∞,x])

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分布函数的用途

可以给出随机变量落入任意一个范围的可能性

$X$X 的分布函数为 $F(x)$F(x)，$a,b$a,b 为两个实数， $a<b$a<b，则

$P(a<X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=F(b)-F(a);$P(a<X≤b)=P(X≤b)−P(X≤a)=F(b)−F(a);

$P(a<X<b)=P(a<X\leq b-0)=F(b-0)-F(a);$P(a<X<b)=P(a<X≤b−0)=F(b−0)−F(a);

$P(X=b)=P(X\leq b)-P(X<b)=F(b)-F(b-0).$P(X=b)=P(X≤b)−P(X<b)=F(b)−F(b−0).

$P(a<X<b)=P(a<X\leq b)-P(X=b)$P(a<X<b)=P(a<X≤b)−P(X=b)

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例 1： 一罐子中有 6 个大小形状一致的球，球号分别为 1,2,2,3,3,3. 现随机摸一球（假设摸到各球的可能性相同），用 $X$X 表示摸到的球的球号。求 $X$X 的分布函数。

解： 由题意知，$X$X 的分布律为

$\begin{array}{c|ccc} X&1&2&3 \\ \hline P&1/6&1/3&1/2 \end{array}$XP​11/6​21/3​31/2​​

那么 $X$X 的分布函数为

$F(x)=P(X\leq x)=\begin{cases} 0, & x<1; \\ 1/6, & 1\leq x<2; \\ 1/2, & 2\leq x<3; \\ 1, & x\geq 3; \end{cases}$F(x)=P(X≤x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​0,1/6,1/2,1,​x<1;1≤x<2;2≤x<3;x≥3;​

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一般地，离散型随机变量的分布函数为阶梯函数。

设离散型随机变量 $X$X 的分布律为 $P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,...$P{X=xk​}=pk​,k=1,2,...

$X$X 的分布函数为

$F(x)=\sum_{x_k\geq x}p_k$F(x)=xk​≥x∑​pk​

$F(x)$F(x) 在 $x=x_k,(k=1,2,...)$x=xk​,(k=1,2,...) 处有跳跃，其跳跃值为 $p_k=P\{X=x_k\}$pk​=P{X=xk​}

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例 2： 设随机变量 $X$X 的分布函数如下，求 $X$X 的分布律。

$F(x)=\begin{cases} 0, & x<-1, \\ 0.2, & -1\leq x<3,\\ 0.6, & 3\leq x<4, \\ 1, & x\geq 4. \end{cases}$F(x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​0,0.2,0.6,1,​x<−1,−1≤x<3,3≤x<4,x≥4.​

解： $F(x)$F(x) 只在 -1,3,4 有跳跃，跳跃的幅度分别是 0.2, 0.4, 0.4.

故分布律为

$\begin{array}{c|ccc} X&-1&3&4 \\ \hline P&0.2&0.4&0.4 \end{array}$XP​−10.2​30.4​40.4​​

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$F(x) $的性质：

（1） $0\leq F(x)\leq 1;$0≤F(x)≤1;
（2） $F(x)$F(x) 单调不减；
$\quad \quad \because$∵ 对于任意 $x_1<x_2,$x1​<x2​,有 $0\leq P(x_1<X\leq x_2)=F(x_2)-F(x_1).$0≤P(x1​<X≤x2​)=F(x2​)−F(x1​).
（3） $F(-\infty)=0, F(+\infty)=1;$F(−∞)=0,F(+∞)=1;
（4） $F(x) 是右连续函数，即 F(x+0)=F(x)$F(x)是右连续函数，即F(x+0)=F(x)

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例 3： 设一醉汉游离于 $A,B$A,B 两点间，$A,B$A,B 之间距离 3 个单位。该醉汉落在 $A,B$A,B 任一子区间的概率与区间长度成正比，设他在离 $A$A 点距离 $X$X 远处，求 $X$X 的分布函数。

解： 根据题意，$P(0\leq X\leq 3)=1,$P(0≤X≤3)=1,

故当 $x<0$x<0 时，$F(x)=P(X\leq x)=0;$F(x)=P(X≤x)=0; 当 $x\geq 3$x≥3 时， $F(x)=1$F(x)=1

设比例系数为 $k$k，则 $P(0\leq X\leq 3)=3k=1, \implies k=1/3.$P(0≤X≤3)=3k=1,⟹k=1/3.

而当 $0\leq x<3$0≤x<3 时，$F(x)=P(X\leq x)=P(X<0)+P(0\leq X\leq x)=0+\frac{1}{3}·x.$F(x)=P(X≤x)=P(X<0)+P(0≤X≤x)=0+31​⋅x.

从而 $X$X 的分布函数为：

$F(x)=P(X\leq x)=\begin{cases} 0, & x<0;\\ x/3, & 0\leq x <3;\\ 1, & x\geq 3. \end{cases}$F(x)=P(X≤x)=⎩⎪⎨⎪⎧​0,x/3,1,​x<0;0≤x<3;x≥3.​

由图可见：此分布函数是个连续函数，因此 $X$X 不是离散型随机变量，$X$X 是连续型随机变量。