投影向量计算公式的推导

在$R^3$R3中，将向量$\beta$β投影到向量$\alpha$α上的投影向量记为$\Pi_{\alpha}(\beta)$Πα​(β)。

如上图，$\Pi_{\alpha}(\beta)$Πα​(β)与$\alpha$α共线，于是，
$\Pi_{\alpha}(\beta)=xe,\quad (1)$Πα​(β)=xe,(1)
其中，$x$x为投影值，它的绝对值等于投影向量的长度，$e=\frac{\alpha}{|\alpha|}$e=∣α∣α​, 即与$\alpha$α同方向的单位向量。
下面求$x$x的值：

由点乘的计算公式，
$\beta\cdot e=|\beta||e|cos\theta=|\beta|cos\theta=x \quad (2)$β⋅e=∣β∣∣e∣cosθ=∣β∣cosθ=x(2)
将（2）代入（1），得

$\Pi_{\alpha}(\beta)=xe=(\beta\cdot e) e$Πα​(β)=xe=(β⋅e)e
$=\frac{\beta\cdot \alpha}{|\alpha|}\frac{\alpha}{|\alpha|}=\frac{\beta\cdot\alpha}{\alpha\cdot\alpha}\alpha，$=∣α∣β⋅α​∣α∣α​=α⋅αβ⋅α​α，
所以，

$\Pi_{\alpha}(\beta)=\frac{\beta\cdot\alpha}{\alpha\cdot\alpha}\alpha$Πα​(β)=α⋅αβ⋅α​α

应用

例1 在$R^3$R3中，向量$\beta=(1，2，3)^T,\alpha=(1,1,1)^T$β=(1，2，3)T,α=(1,1,1)T，计算$\Pi_{\alpha}(\beta).$Πα​(β).

解：$\Pi_{\alpha}(\beta)=\frac{1\cdot1+2\cdot 1+3\cdot 1}{1\cdot1+1\cdot 1+1\cdot 1}\alpha=\frac{6}{3}\alpha=2\alpha.$Πα​(β)=1⋅1+1⋅1+1⋅11⋅1+2⋅1+3⋅1​α=36​α=2α.

推广

在$n$n维欧式空间$P^n$Pn中，点乘推广为内积，记为$(\beta,\alpha)$(β,α), 上述投影公式可推广为：
$\Pi_{\alpha}(\beta)=\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha.$Πα​(β)=(α,α)(β,α)​α.

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