图形学上课的时候，????坐在第一排划拉瑟图 ，老师突然布置了个作业：推导mv变换的矩阵。常言道上山容易下山难之用轮一时爽，造轮火葬场 ，这可把????急坏了，周末就嗯搁这埋头一顿推。推了挺久的 今天记录一下过程。
mv矩阵的目的是将世界坐标系下的坐标转到相机坐标系下，即通过世界坐标表示相机坐标。其实就是一些平移和旋转变换，然后将坐标系转换即可。所以我们要求得两个变换的矩阵：
- 旋转变换矩阵
- 平移变换矩阵
然后把两个矩阵相乘，得到最终的变换矩阵 M，这个 M 矩阵左乘世界坐标系下的齐次坐标，能够帮助我们将世界坐标转为相机坐标。
好了 背景介绍到这里，❀不多????，开冲！
我们转换的第一步，就是确定相机坐标系的标架。假设已知世界坐标系下：
- 相机原点 p 点坐标
- 视平面法线 n
- 竖直向上向量 vup （在世界坐标中为 (0, 1, 0)）
那么我们可以计算 vup 在视平面上的投影v，即平行于视平面的竖直向上分量。方法是通过三角形法则。随后通过n和v的叉乘表示出最后一个轴u：
将 u，v，n 归一化之后，我们得到在世界坐标系下，相机坐标系三个坐标轴指向的方向。
因为 u，v，n 都是归一化的向量，那么我们认为 u，v，n 就是世界坐标系下，相机坐标系的三个基向量。根据右手坐标系法则：u，v，n 向量对应的坐标轴为：
那么我们可以建立一个坐标轴旋转变换矩阵 A，其中A能够将相机坐标系下的坐标转换到世界坐标系，那么容易得出A的表达式：
其中以二维情况举例，验证A的表达的正确性：
上述的 A 矩阵描述了从相机坐标系转换到世界坐标系的过程，其中有：
又因为我们希望通过世界坐标表示相机坐标，即通过 xyz 表示 uvn ，那么我们需要进行转换：
所以我们希望求得 A 矩阵的逆矩阵，幸运的是，A是一个正交矩阵，这意味着：
所以最终的旋转矩阵（世界坐标转眼坐标），我们称之为R，那么有：
此外，我们还需引入平移矩阵T。因为相机的中心坐标 p 点在世界坐标系下的坐标为 (x, y, z)，且平移变换仅涉及常数的相加！
假设世界坐标系下点坐标为p’ 相机坐标系下点坐标为p，那么有：
因为我们希望通过世界坐标表示相机坐标，所以有：
因齐次坐标的常数相加集中在最后一列，易得从世界坐标系到相机坐标系的平移矩阵 T 为：
因为最终我们是通过旋转和变换的结合，将坐标进行转换。根据 M = R * T，我们结合平移和旋转矩阵，可以得出mv变换矩阵 M 的表达式为：
推完了 Orz
