为什么引入CRC
现实的通信链路都不会是理想的。这就是说，比特在传输的过程中可能会产生差错：1可能会变成0，0可能会变成1，这就叫做比特差错。在一段是时间内，传输错误的比特占所传输比特总数的比率成为误码率BER(Bit Error Rate)。误码率与信噪比有很大的关系，在实际通信中不可能使误码率下降到零。
因此，为了保证数据传输的可靠性，在计算机网络传输数据时，必须采用各种差错检测措施。
目前在数据链路层广泛使用了循环冗余检测CRC的检测技术
CRC的原理
CRC运算实际上就是在数据长为k的后面添加供差错检测用的n位冗余码，然后构成帧k+n位发送出去。
首先来介绍几个概念
(1)模2运算：实际上是按位异或运算，即相同为0，相异为1，也就是不考虑进位、借位的二进制加减运算。如：1111+1010 = 0101
(2)FCS：其实就是冗余码，帧检验序列(Frame Check Sequence)
(3)生成多项式：其实就是除数，比如下面将要用到的除数p = 1101
关于多项式的要求：
（1）选择一个生成多项式，作为对接收的帧进行除法运算时的除数，生成多项式可以写为二进制形式；生成多项式的要求：
①最高位和最低位必须为1；
②当CRC码的任何一位发生错误时，新帧除生成多项式后余数不为0；
③不同位发生错误时，余数应该是不同的；
计算n位冗余码
现假定待传输的数据M = 101001(k = 6)，除数p = 1101 (n = 3)比n多一位
这n位冗余码可以用下面的方法得出。
(1)用二进制的模2运算进行(2^n)乘M的运算,相当于在M后面添加n个0。
即M后面添加3个0
(2)现在得到M = 101001000(k+n = 9)位的数除以除数p(n = 3)位，
得到商是Q(不关心)，余数R =001（n位）R就是冗余码FCS
现在加上FCS后发送的帧是101001001
在接收端把接收到的数据M = 101001001以帧为单位进行CRC检验：把收到的每一个帧都除以相同的除数p(模2运算)，然后检查得到的余数R。
如果在传输过程中没有差错，那么经过检验后得到余数R肯定是0。
(读者可以自己检验下，被除数现在是M = 101001001,除数P= 1101，看余数是否为0)
总之，在接收端对接收到的每一个帧经过CRC检验后，有两种情况：
(1)余数R = 0，则判断这个帧没有问题，就接受
(2)余数R != 0,则判断这个帧有差错，就丢弃。
例子：
假设CRC生成多项式G(X)=X5+X4+X+1,要发送的二进制数据帧为100101110，求CRC校验码:
①把生成多项式转换为二进制数：110011；
②由生成多项式的位数为6可知，CRC校验码的位数为5，所以在数据帧后加5个0，变为10010111000000，将这个数使用模2除法除以生成多项式110011，得到余数即CRC校验码11010；
③用得到的CRC校验码替换掉数据帧中的5个0，形成新的帧10010111011010，将这个新帧发送给接收端；
④接收端收到新帧后，用新帧除以上面的多项式110011（模2除法），如果余数为0，该数据帧在传输过程中没有出错，否则出错；（经验证余数为0）
商？
出处
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