一阶线性偏微分方程通解法和特征线法（一）| 两个自变量情况 | 偏微分方程（七）

先求通解再确定特解，是求常微分方程定解问题采用的方法，都某些偏微分方程，也能通过积分求出通解，进而确定出满足定解条件的特解。

两个自变量的一阶线性偏微分方程

今有两个自变量的一阶线性偏微分方程。
$a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}+c(x,y)u=f(x,y) \tag{1}$a(x,y)∂x∂u​+b(x,y)∂y∂u​+c(x,y)u=f(x,y)(1)
其中，系数$a(x,y),b(x,y),c(x,y)$a(x,y),b(x,y),c(x,y)是平面区域$D\subset \bold R^2$D⊂R2上的连续函数，且$a(x,y),b(x,y)$a(x,y),b(x,y)不同时为零，$f(x,y)$f(x,y)在D上连续，称为方程的非齐次项。若$f(x,y)\equiv 0$f(x,y)≡0，方程为齐次的。

思路：将两个自变量的方程化为求一个自变量的方程

情况1：如果在D上，$a(x,y)\equiv 0,b(x,y)\neq 0$a(x,y)≡0,b(x,y)​=0，方程（1）改写为
$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{c(x,y)}{b(x,y)}u=\frac{f(x,y)}{b(x,y)} \tag{2}$∂x∂u​+b(x,y)c(x,y)​u=b(x,y)f(x,y)​(2)
利用一阶线性常微分方程的求解方法得其通解。
$u(x,y)=exp(-\int \frac{c(x,y)}{b(x,y)}dy)·[\int exp(\int \frac{c(x,y)}{b(x,y)})\frac{f(x,y)}{b(x,y)}dy+g(x)]$u(x,y)=exp(−∫b(x,y)c(x,y)​dy)⋅[∫exp(∫b(x,y)c(x,y)​)b(x,y)f(x,y)​dy+g(x)]
其中，$g(x)$g(x)为任意C函数。

情况2：如果在D上，$a(x,y)b(x,y)\neq 0$a(x,y)b(x,y)​=0，方程（1）不能直接积分求解，试作待定的自变量代换
$\begin{cases} \xi=\varphi(x,y) \\ \eta=\psi(x,y) \end{cases} \tag{a}${ξ=φ(x,y)η=ψ(x,y)​(a)
要求其雅可比（Jacobi）行列式
$J(\varphi,\psi)=\frac{\partial (\varphi,\psi)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial x} & \frac{\partial \varphi}{\partial y} \\ \frac{\partial \psi}{\partial x} & \frac{\partial \psi}{\partial y} \end{vmatrix} \neq 0$J(φ,ψ)=∂(x,y)∂(φ,ψ)​=∣∣∣∣∣​∂x∂φ​∂x∂ψ​​∂y∂φ​∂y∂ψ​​∣∣∣∣∣​​=0
以保证新变量$\xi,\eta$ξ,η的相互独立性，利用链式法则
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial \xi}+\frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial \eta} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial y}=\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial \xi}+\frac{\partial \psi}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial \eta}$∂x∂u​=∂ξ∂u​∂x∂ξ​+∂η∂u​∂x∂η​=∂x∂φ​∂ξ∂u​+∂x∂ψ​∂η∂u​∂y∂u​=∂ξ∂u​∂y∂ξ​+∂η∂u​∂y∂η​=∂y∂φ​∂ξ∂u​+∂y∂ψ​∂η∂u​
$u=u(x,y)$u=u(x,y)的方程（1）变为$u=u(x(\xi,\eta),y(\xi,\eta))=u(\xi,\eta)$u=u(x(ξ,η),y(ξ,η))=u(ξ,η)的新方程
$(a\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b\frac{\partial \varphi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \xi}+(a\frac{\partial \psi}{\partial x}+b\frac{\partial \psi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \eta}+cu=f \tag{3}$(a∂x∂φ​+b∂y∂φ​)∂ξ∂u​+(a∂x∂ψ​+b∂y∂ψ​)∂η∂u​+cu=f(3)
若取$\xi=\varphi(x,y)$ξ=φ(x,y)是齐次一阶线性偏微分方程
$a(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0 \tag{4}$a(x,y)∂x∂φ​+b(x,y)∂y∂φ​=0(4)
的解，则新方程（3）称为（2）型的方程
$(a\frac{\partial \psi}{\partial x}+b\frac{\partial \psi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \eta}+cu=f \tag{b}$(a∂x∂ψ​+b∂y∂ψ​)∂η∂u​+cu=f(b)
对$\eta$η积分便可求出通解。

以下求解一阶线性偏微分方程（4），它的解对应与相应的常微分方程
$a(x,y)dy-b(x,y)dx=0 \tag{5}$a(x,y)dy−b(x,y)dx=0(5)
亦即
$\frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)} \tag{6}$a(x,y)dx​=b(x,y)dy​(6)
的解之间存在确定的关系。

定理：若$\varphi(x,y)=h$φ(x,y)=h（常数）是一阶常微分方程（5）在区域D内的隐式通解（积分曲线族），则$\xi=\varphi(x,t)$ξ=φ(x,t)是一阶线性偏微分方程（4）在区域D上的一个解。

证明：设$\varphi(x,y)=h$φ(x,y)=h是方程（5）在D内的隐式通解，则过D内一点$(x_0,y_0)$(x0​,y0​)有一条积分曲线$\Gamma_0:\varphi(x,y)=\varphi(x_0,y_0)=h_0$Γ0​:φ(x,y)=φ(x0​,y0​)=h0​，此隐式解满足方程
$\frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)}$a(x,y)dx​=b(x,y)dy​
又沿此积分曲线$\Gamma_0$Γ0​，有
$\frac{\partial \varphi}{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi}{\partial y}dy=0$∂x∂φ​dx+∂y∂φ​dy=0
故在$\Gamma_0$Γ0​上，有
$a(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0$a(x,y)∂x∂φ​+b(x,y)∂y∂φ​=0
由于$(x_0,y_0)$(x0​,y0​)是D内任意一点，故$\xi=\varphi(x,y)$ξ=φ(x,y)是一阶线性偏微分方程（4）在D上的解。

定题的逆命题也成立。

由常微分方程理论，一阶常微分方程（5）在区域D内存在且仅存在一族独立的积分曲线。如果求出了方程（5）的积分曲线族$\varphi(x,y)=h$φ(x,y)=h，再任取函数$\psi(x,y)$ψ(x,y)，使在D上$J(\varphi,\psi)\neq 0$J(φ,ψ)​=0，以此$\varphi$φ和$\psi$ψ作变量代换（a）式，一阶线性偏微分（1）便可化为可积分求通解的方程（b）。

特别地，当$c(x,y)=f(x,y)\equiv 0$c(x,y)=f(x,y)≡0时，方程（1）即为方程（4），相应的新方程（b）为$\frac{\partial u}{\partial \eta}=0$∂η∂u​=0，其通解为$u=g(\xi),g(\xi)$u=g(ξ),g(ξ)为任意C函数。代回原自变量，得方程
$a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}=0$a(x,y)∂x∂u​+b(x,y)∂y∂u​=0
的通解$u=g(\varphi(x,y))$u=g(φ(x,y))。这里，$\varphi(x,y)=h$φ(x,y)=h是常微分方程（5）的隐式通解，$g(\xi)$g(ξ)是任意C函数。

如果给定u在某一曲线$\Gamma:\gamma(x,y)=d$Γ:γ(x,y)=d上的值，则需求解定解问题
$\begin{cases} a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}=0 \\ u|_{\gamma(x,y)=d}=\theta(y) \end{cases}${a(x,y)∂x∂u​+b(x,y)∂y∂u​=0u∣γ(x,y)=d​=θ(y)​
用定解条件定出通解中的任意函数$g(\xi)$g(ξ)即可。

这种求解定解问题的方法称之为通解法。常微分方程（5）或等价的方程（6）称为一阶线性偏微分方程（1）的特征方程，其积分曲线称之为特征曲线。

例1：求解右行单波方程的初值问题
$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}+a \frac{\partial u}{\partial x}=0,\quad t>0,-\infty<x<+\infty \\ u|_{t=0}=\varphi(x) \end{cases}${∂t∂u​+a∂x∂u​=0,t>0,−∞<x<+∞u∣t=0​=φ(x)​
其中，$a>0$a>0为常数。

解：特征方程$dx-adt=0$dx−adt=0，特征线族为$x-at=h$x−at=h。

令$\xi=x-at, \eta=x$ξ=x−at,η=x，则方程化为
$\frac{\partial u}{\partial \eta}=0$∂η∂u​=0
对$\eta$η积分得通解$u=g(\xi)=g(x-at)$u=g(ξ)=g(x−at)，其中，$g(\xi)$g(ξ)是任意C函数。由初始条件
$u|_{t=0}=g(x)=\varphi(x)$u∣t=0​=g(x)=φ(x)
得该初值问题的解$u(t,x)=\varphi(x-at)$u(t,x)=φ(x−at)

在$(x,u)$(x,u)平面上看（图1.3.1），$t=0$t=0时$u=\varphi(x)$u=φ(x)，对每个固定时刻$t>0，u=\varphi(x-at)]$t>0，u=φ(x−at)]，其图形相当于曲线$u=\varphi(x)$u=φ(x)向右移动了$at$at，波形的传播速度为$a$a。称这样的解为右行波解。

在$(x,t,u)$(x,t,u)空间看（图1.3.2），波形沿特征线传播。在特征线$x-at=h$x−at=h上，$u=\varphi(x-at)=\varphi(h)$u=φ(x−at)=φ(h)，故当观察者沿某条特征线前行时，看到的波形始终不变。如果初始扰动$\varphi(x)$φ(x)只发生在区间$h_1\leq x\leq h_2$h1​≤x≤h2​内，则这个扰动沿着$(x,t)$(x,t)平面上的特征条形域$h_1\leq x-at\leq h_2$h1​≤x−at≤h2​传播。

本例中初始条件给在非特征线的直线$t=0$t=0上，从通解可唯一确定特解。如果初始条件给在一条特征线$x-at=h_0$x−at=h0​上，初始条件$u|_{x-at=h_0}=g(x-at)|_{x-at=h_0}=g(h_0)=\varphi(x)$u∣x−at=h0​​=g(x−at)∣x−at=h0​​=g(h0​)=φ(x)，当$\varphi(x)$φ(x)为非常值函数时无解，当$\varphi(x)$φ(x)为常数$\varphi_0$φ0​时有无穷多个解$g(\xi)$g(ξ)，只要$g(h_0)=\varphi_0$g(h0​)=φ0​。

对于左行单波方程$\frac{\partial u}{\partial t}-a\frac{\partial u}{\partial x}=0$∂t∂u​−a∂x∂u​=0，同样可求得其通解为左行波$u=g(x+at)$u=g(x+at)，$g$g为任意$C^1$C1函数（一阶连续导数）。