几何变换详解(3D点与矩阵)

时间:2024-03-27 22:33:57

在三维图形学中,几何变换大致分为三种,平移变换(Translation),缩放变换(Scaling),旋转变换(Rotation)。以下讨论皆针对DirectX,所以使用左手坐标系。

平移变换

将三维空间中的一个点[x, y, z, 1]移动到另外一个点[x', y', z', 1],三个坐标轴的移动分量分别为dx=Tx, dy=Ty, dz=Tz, 即

x' = x + Tx

y' = y + Ty

z' = z + Tz

平移变换的矩阵如下。

几何变换详解(3D点与矩阵)

缩放变换

将模型放大或者缩小,本质也是对模型上每个顶点进行放大和缩小(顶点坐标值变大或变小),假设变换前的点是[x, y, z, 1],变换后的点是[x', y', z', 1],那么

x' = x * Sx

y' = y * Sy

z' = z * Sz

缩放变换的矩阵如下。

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旋转变换

这是三种变换中最复杂的变换,这里只讨论最简单的情况,绕坐标轴旋转,关于绕任意轴旋转,在后续的随笔中介绍。

绕X轴旋转

几何变换详解(3D点与矩阵)

绕X轴旋转时,顶点的x坐标不发生变化,y坐标和z坐标绕X轴旋转θ度,旋转的正方向为顺时针方向(沿着旋转轴负方向向原点看)。[x, y, z, 1]表示变换前的点,[x', y', z', 1]表示变换后的点。变换矩阵如下。

关于旋转的正方向,OpenGL与多数图形学书籍规定旋转正方向为逆时针方向(沿着坐标轴负方向向原点看),比如Computer Graphics C Version,p409。

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绕Y轴旋转

几何变换详解(3D点与矩阵)

绕Y轴旋转时,顶点的y坐标不发生变化,x坐标和z坐标绕Y轴旋转θ度。[x, y, z, 1]表示变换前的点,[x', y', z', 1]表示变换后的点。变换矩阵如下。

几何变换详解(3D点与矩阵)

绕Z轴旋转

几何变换详解(3D点与矩阵)

绕Z轴旋转时,顶点的z坐标不发生变化,x坐标和y坐标绕Z轴旋转θ度。[x, y, z, 1]表示变换前的点,[x', y', z', 1]表示变换后的点。变换矩阵如下。

几何变换详解(3D点与矩阵)

绕坐标轴旋转的矩阵推导

上面三个旋转矩阵是如何得来的呢?我们推导一下,首先看一下二维的情况,再扩展到三维即可。实际上上面三种绕坐标轴旋转的情况属于特殊的二维旋转,比如绕Z轴旋转,相当于在与XOY平面上绕原点做二维旋转。

假设点P(x, y)是平面直角坐标系内一点,其到原点的距离为r,其与X轴的夹角为A,现将点P绕原点旋转θ度,得到点P'(x', y'),P'与X轴的夹角为B,则A = B - θ。(注意,在二维坐标中,逆时针旋转时角度为正,顺时针旋转时角度为负,下图中由P旋转到P',角度为θ,若是由P'转到P,则角度为-θ)。

几何变换详解(3D点与矩阵)

 

几何变换详解(3D点与矩阵)

几何变换详解(3D点与矩阵)

几何变换详解(3D点与矩阵)

几何变换详解(3D点与矩阵)

于是可得下面的转换方程

几何变换详解(3D点与矩阵)(式一)

写成矩阵的形式就是

几何变换详解(3D点与矩阵)

求得旋转矩阵为

几何变换详解(3D点与矩阵)

由于这里使用齐次坐标,所以还需加上一维,最终变成

几何变换详解(3D点与矩阵)

和前面给出的绕Z轴旋转矩阵完全吻合。

对于绕X轴旋转的情况,我们只需将式一中的x用y替换,y用z替换,z用x替换即可。替换后得到

几何变换详解(3D点与矩阵)(式二)

对应的旋转矩阵为

几何变换详解(3D点与矩阵)

对于绕Y轴旋转的情况,只需对式二做一次同样的替换即可,的到的变换方程为

几何变换详解(3D点与矩阵)

对应的变换矩阵为

几何变换详解(3D点与矩阵)

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