高斯滤波、双边滤波、Retinex图像增强的学习

一、高斯滤波

二维高斯函数(均值为0)，以及 δ = 6图像：
$G(x,y) = \frac 1 {2\pi \delta ^2}e^{- \frac{x^2+y^2}{2\delta ^2}}$G(x,y)=2πδ21​e−2δ2x2+y2​

高斯滤波器的平滑程度是由参数σ表征的，σ越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．通过调节平滑程度参数σ。高斯滤波器的截止频率可以由标准差来描述：
$f_c = \frac 1 {2 \pi \delta}$fc​=2πδ1​
一般情况下，截止频率都定义在半功率点，也就是滤波器的功率谱响应降到一半（-3dB），或者是幅度谱的0.707处。另外，二维高斯函数具有旋转对称性，这也使得它会模糊掉图像的边缘信息。

二、双边滤波

Bilateral filter 是非线性的带有边缘保护的图像降噪平滑滤波器。它以像素邻域附近的加权平均值代替原像素值。权重可以选择高斯分布，但是权重不仅仅有距离像素的欧式距离决定，还受到辐射差值的影响，这可以保留明显的边缘。双边滤波的定义如下：
$I^{filtered}(x) = \frac 1 W_p\sum_{x_i \in \Omega}I(x_i)f_\tau(\|I(x_i) - I(x)\|)g_s(\|x_i - x \|)$Ifiltered(x)=W1​p​xi​∈Ω∑​I(xi​)fτ​(∥I(xi​)−I(x)∥)gs​(∥xi​−x∥)
$W_p = \sum_{x_i \in \Omega}f_\tau(\|I(x_i) - I(x)\|)g_s(\|x_i - x \|)$Wp​=xi​∈Ω∑​fτ​(∥I(xi​)−I(x)∥)gs​(∥xi​−x∥)
权重由空间接近程度和强度差共同决定，例如要对图像的（i,j）点降噪，需要用到它的邻域内的点（k,l）,那落在个点上的权重可取为：
$w(i,j,k,l)=exp\lgroup -\frac{(i-k)^2 + (j-l)^2}{2\delta^2} -\frac{\|I(i,j)-I(k,l) \|^2}{2\delta ^2}\rgroup$w(i,j,k,l)=exp⟮−2δ2(i−k)2+(j−l)2​−2δ2∥I(i,j)−I(k,l)∥2​⟯
像素（i,j）滤波后的值可有下式给出：
$I_D(i,j) = \frac{\sum _{k,l}I(k,l)w(i.j.k.l)}{\sum _{k,l}w(i.j.k.l)}$ID​(i,j)=∑k,l​w(i.j.k.l)∑k,l​I(k,l)w(i.j.k.l)​
双边滤波的效果如下：

三、Retinex算法

Retinex可以在灰度动态范围压缩，边缘增强和颜色恒定性三个方面达到平衡。基本原理是将一副图像分为亮度图像和反射图像两部分，然后通过降低亮度图像对反射图像的影响而达到增强图像的目的。可以描述为：
$S(x,y) = R(x,y) \bullet L(x,y)$S(x,y)=R(x,y)∙L(x,y)
其中R(x,y)表示入射光，L(x,y)表示物体的反射性质。S(x,y)被观察者接受就形成了彩色图像。入射光决定图像中像素能达到的动态范围，反射物体决定了图像的内在性质。将上式取对数：
$log(S(x,y)) = log(R(x,y)) + log(L(x,y))$log(S(x,y))=log(R(x,y))+log(L(x,y))
单尺度retinex算法：
亮度图像由原图像通过G函数得到，通常这个函数为高斯低通函数。
$log(R(x,y)) = log[S(x,y)] - log[S(x,y) * G(x,y)]$log(R(x,y))=log[S(x,y)]−log[S(x,y)∗G(x,y)] $G(x,y) = \lambda *exp{\frac {-(x^2 + y^2)}{c^2}} \\ \lambda \text{是常量矩阵，使得：} \int \int G(x,y)dxdy = 1$G(x,y)=λ∗expc2−(x2+y2)​λ是常量矩阵，使得：∫∫G(x,y)dxdy=1
多尺度retinex算法：
多尺度算法通常是单尺度的加权平均，若N = 3，则每个w = 1/3;G函数与单尺度一样是高斯函数，分别带有不同的尺度c，可取值：15\80\200.
$r(x,y) = \sum _{i = 1}^{N}w_i\{ log[I(x,y)]-log[I(x,y)]*G_i(x,y)]\}$r(x,y)=i=1∑N​wi​{log[I(x,y)]−log[I(x,y)]∗Gi​(x,y)]}