高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力

时间:2024-03-18 20:46:49

§6.5  功、水压力和引力

一、变力沿直线所作的功

【例1】半径为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力的球沉入水中,球的上部与水面相切,球的比重为 1 ,现将这球从水中取出,需作多少功?

解:建立如图所示的坐标系

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将高为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力的球缺取出水面,所需的力高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力为:高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力

其中:高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力是球的重力,高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力表示将球缺取出之后,仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。

由球缺公式 高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力 有

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从而    高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力

十分明显,高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力表示取出水面的球缺的重力。即:仅有重力作功,而浮力并未作功,且这是一个变力。从水中将球取出所作的功等于变力高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力改变至高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力时所作的功。

高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力为积分变量,则高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力,对于高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力上的任一小区间高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力,变力高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力这段距离内所作的功。

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这就是功元素,并且功为

 

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另解  建立如图所示的坐标系

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高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力为积分变量, 则 高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力

高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力 上任取一个小区间高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力,则此小区间对应于球体上的一块小薄片,此薄片的体积为

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由于球的比重为 1 , 故此薄片质量约为

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将此薄片取出水面所作的功应等于克服薄片重力所作的功,而将此薄片取出水面需移动距离为 高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力

功元素为  高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力

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二、水压力

在水深为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力处的压强为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力,这里高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力是水的比重。

如果有一面积为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力的平板水平地放置在水深高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力,那未,平板一侧所受的水压力为

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若平板非水平地放置在水中,那么由于水深不同之处的压强不相等。此时,平板一侧所受的水压力就必须使用定积分来计算。

 

【例2】边长为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力的矩形薄板,与水面成高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力角斜沉于水中,长边平行于水面而位于水深高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力处。设高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力,水的比重为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力,试求薄板所受的水压力高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力

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解:由于薄板与水面成高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力角斜放置于水中,则它位于水中最深的位置是

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高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力为积分变量, 则 高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力  (注意: 高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力表示水深)

高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力中任取一小区间高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力,与此小区间相对应的薄板上一个小窄条形的面积是  高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力

它所承受的水压力约为 高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力

于是,压力元素高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力

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这一结果的实际意义十分明显

高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力正好是薄板水平放置在深度为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力的水中时所受到的压力;

高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力是将薄板斜放置所产生的压力,它相当于将薄板水平放置在深度为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力处所受的水压力。

三、引力

由物理学知道:质量为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力,相距为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力的两质点间的引力大小为

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高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力为引力系数。引力的方向沿着两质点的连线方向

如果要计算一根细棒对一个质点的引力,由于细棒上各点与该质点的距离是变化的,且各点对该质点的引力方向也是变化的,便不能简单地用上述公式来作计算了。

 

【例3】设有一半径为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力, 中心角为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力的圆弧形细棒, 其线密度为常数高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力, 在圆心处有一质量为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力的质点高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力, 试求这细棒对质点高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力的引力。

解决这类问题,一般来说,应选择一个适当的坐标系。

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解:建立如图所示的坐标系,质点高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力位于坐标原点,该圆弧的参方程为

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在圆弧细棒上截取一小段,其长度为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力,它的质量为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力,到原点的距离为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力,其夹角为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力,它对质点高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力的引力高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力的大小约为

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高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力在水平方向(即高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力轴)上的分力高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力的近似值为

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于是,我们得到了细棒对质点的引力在水平方向的分力高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力的元素,

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故      高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力

类似地  高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力

因此,引力的大小为高等数学:第六章 定积分的应用(5)功、水压力和引力,而方向指向圆弧的中心。

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