深度学习——微积分基础

时间：2024-03-18 13:52:10

目录

 1、导数和微分

1.1 定义函数：

1.2 趋近过程：

1.3 绘图表示：

2、偏导数

3、梯度

4、链式法则

5、学习心得

在2500年前，古希腊人把一个多边形分成三角形，并把它们的面积相加，才找到计算多边形面积的方法。为 了求出曲线形状（比如圆）的面积，古希腊人在这样的形状上刻内接多边形。如图下所示，内接多边形的 等长边越多，就越接近圆。这个过程也被称为逼近法。

事实上，逼近法就是积分的起源。 2000多年后，微积分的另一支，微分被发明出来。 在微分学最重要的应用是优化问题，即考虑如何把事情做到最好，这种问题在深度学习中是无处不在的。

在深度学习中，我们“训练”模型，不断更新它们，使它们在看到越来越多的数据时变得越来越好。通常情 况下，变得更好意味着最小化一个损失函数（loss function），即一个衡量“模型有多糟糕”这个问题的分数。 最终，我们真正关心的是生成一个模型，它能够在从未见过的数据上表现良好。但“训练”模型只能将模型 与我们实际能看到的数据相拟合。因此，我们可以将拟合模型的任务分解为两个关键问题：

  • 优化（optimization）：用模型拟合观测数据的过程；
  • 泛化（generalization）：数学原理和实践者的智慧，能够指导我们生成出有效性超出用于训练的数据集本身的模型。

 1、导数和微分

假设我们有一个函数f : R → R，其输入和输出都是标量。如果f的导数存在，这个极限被定义为

如果f ′ (a)存在，则称f在a处是可微的。如果f在一个区间内的每个数上都是可微的，则此函数在此区间中是可微的。

1.1 定义函数：

为了更好地解释导数，让我们做一个实验。定义 u = f(x) = 3x^{2} − 4x 如下：

%matplotlib inline
import numpy as np
from matplotlib_inline import backend_inline
from d2l import torch as d2l
def f(x):
return 3 * x ** 2 - 4 * x

1.2 趋近过程：

通过令x = 1并让h接近0，(2.4.1)中(f(x+h)−f(x)) /h 的数值结果接近2。虽然这个实验不是一个数学证明，但稍后 会看到，当x = 1时，导数u ′是2。

def numerical_lim(f, x, h):
return (f(x + h) - f(x)) / h
h = 0.1
for i in range(5):
print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
h *= 0.1

输出：

h=0.10000, numerical limit=2.30000

h=0.01000, numerical limit=2.0300

h=0.00100, numerical limit=2.00300

h=0.00010, numerical limit=2.00030

h=0.00001, numerical limit=2.00003

1.3 绘图表示：

现在我们可以绘制函数u = f(x)及其在x = 1处的切线 y = 2x − 3，其中系数2是切线的斜率。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from matplotlib_inline import backend_inline
from d2l import torch as d2l


def f(x):
    return 3 * x ** 2 - 4 * x


def numerical_lim(f, x, h):
    return (f(x + h) - f(x)) / h


h = 0.1
for i in range(5):
    print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
    h *= 0.1


def use_svg_display():  # @save
    """使用svg格式在Jupyter中显示绘图"""
    backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')


def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):  # @save
    """设置matplotlib的图表大小"""
    use_svg_display()
    d2l.plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize


# @save
def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
    """设置matplotlib的轴"""
    axes.set_xlabel(xlabel)
    axes.set_ylabel(ylabel)
    axes.set_xscale(xscale)
    axes.set_yscale(yscale)
    axes.set_xlim(xlim)
    axes.set_ylim(ylim)
    if legend:
        axes.legend(legend)
    axes.grid()


# @save
def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
    """绘制数据点"""
    if legend is None:
        legend = []

    set_figsize(figsize)
    axes = axes if axes else d2l.plt.gca()

    # 如果X有一个轴，输出True
    def has_one_axis(X):
        return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)
                and not hasattr(X[0], "__len__"))

    if has_one_axis(X):
        X = [X]
    if Y is None:
        X, Y = [[]] * len(X), X
    elif has_one_axis(Y):
        Y = [Y]
    if len(X) != len(Y):
        X = X * len(Y)
    axes.cla()
    for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):
        if len(x):
            axes.plot(x, y, fmt)
        else:
            axes.plot(y, fmt)
    set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)


x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])
plt.show()

2、偏导数

在深度学习中，函数通常依赖于许多变量。因此，我 们需要将微分的思想推广到多元函数上。

设y = f(x1, x2, . . . , xn)是一个具有n个变量的函数。y关于第i个参数xi的偏导数为：

3、梯度

我们可以连结一个多元函数对其所有变量的偏导数，以得到该函数的梯度（gradient）向量。具体而言，设 函数f : R n → R的输入是一个n维向量x = [x1, x2, . . . , xn] ⊤，并且输出是一个标量。函数f(x)相对于x的梯度 是一个包含n个偏导数的向量:

4、链式法则

然而，上面方法可能很难找到梯度。这是因为在深度学习中，多元函数通常是复合的，所以难以应用上述任何规则来微分这些函数。幸运的是，链式法则可以被用来微分复合函数。 让我们先考虑单变量函数。假设函数y = f(u)和u = g(x)都是可微的，根据链式法则：

5、学习心得

  1. 微分和积分是微积分的两个分支，前者可以应用于深度学习中的优化问题。
  2. 导数可以被解释为函数相对于其变量的瞬时变化率，它也是函数曲线的切线的斜率。
  3. 梯度是一个向量，其分量是多变量函数相对于其所有变量的偏导数。
  4. 链式法则可以用来微分复合函数。

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