一、概念：
CRC即循环冗余校验码：是数据通信领域中最常用的一种查错校验码，其特征是信息字段和校验字段的长度可以任意选定。循环冗余检查（CRC）是一种数据传输检错功能，对数据进行多项式计算，并将得到的结果附在帧的后面，接收设备也执行类似的算法，以保证数据传输的正确性和完整性。
二、工作原理：
循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码也叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。
校验码的具体生成过程为：假设要发送的信息用多项式C(X)表示，将C(x)左移R位（可表示成 C(x) * 2R），这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。用 C(x)*2R 除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。（2R是指2的R次方）
任意一个由二进制位串组成的代码都可以和一个系数仅为‘0’和‘1’取值的多项式一一对应。
例如：代码1010111对应的多项式为x6+x4+x2+x+1，而多项式为x5+x3+x2+x+1对应的代码101111。
其整个编码如下图： 
三、基本概念
1. 多项式与二进制之间的关系
多项式和二进制数有直接对应关系：X的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：X的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。如果一个多项式为G(X)=X4+X3+X+1，则可转换二进制数码为11011。 如果二进制数码为101111，则转换成多项式为C(X)=X5+X3+X2+X+1。
2. 生成多项式
生成多项式是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。（这个多项式是发送方和接收方所共知的，不会在（N，K）码中体现出来） 在发送方，利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接收方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。
生成多项式应满足以下条件：
A、生成多项式的最高位和最低位必须为1。B、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做除后应该使余数不为0。
C、不同位发生错误时，应该使余数不同。
D、对余数继续做除，应使余数循环。
3. 校验码位数
CRC校验码位数 = 生成多项式位数 - 1。例如：生成多项式为：G(X)=X4+X3+X+1，则CRC校验码的位数 = 4+1 = 5 。注意有些生成多项式的简记式中将生成多项式的最高位1省略了。
4. 生成步骤
（1）将X的最高次幂为R的生成多项式G(X)转换成对应的R+1位二进制数。如：G(X) = X4+X3+X+1，则转换为二进制数为11011，CRC校验码位数R = 4.
（2）将信息码左移R位，相当于对应的信息多项式C(X) *2R。如：信息码为1010，则对应多项式为C（x） = x3 + x1 + 1；将信息码左移R位得到1011 0000，对应的信息多项式C(X) *2R = x7 + x5 +1。
（3）用生成多项式（二进制数）对信息码做除，得到R位的余数(注意：这里的二进制做除法得到的余数其实是模2除法得到的余数，并不等于其对应十进制数做除法得到的余数。)。如：将上面的左移后的信息码1011 0000 除以 生成多项式（二进制数）11011，得到的余数（1110）就是CRC码。（这个CRC码一定是R位）
（4）将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。 如：上面的信息码为1011 0000，将后R位换成刚得到的CRC码，就得到完整得到CRC码10111110。
例1：
假设使用的生成多项式是G(X)=X3+X+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。 解：
1、将生成多项式G(X)=X3+X+1转换成对应的二进制除数1011。
2、此题生成多项式有4位（R+1）(注意：4位的生成多项式计算所得的校验码为3位，R为校验码位数)，要把原始报文C(X)左移3（R）位变成1010 000
3、用左移3位后的原始报文 除以 生成多项式对应的二进制数 得到的的余数：1010 000 %1011 = 011（这个%好像不能在这里用，意思表达到就行了，正确说法应该是二进制的模二除法） 所以，最终编码为1010011。
例2：
信息字段代码为: 1011001；对应m(x)=x6+x4+x3+1
假设生成多项式为：g(x)=x4+x3+1；则对应g(x)的代码为: 11001
x4m(x)=x10+x8+x7+x4 对应的代码记为：10110010000；
采用多项式除法: 得余数为: 1010 (即校验字段为：1010）
发送方：发出的传输字段为: 1 0 1 1 0 0 1 1010
接收方：使用相同的生成码进行校验:接收到的字段/生成码（二进制除法）如果能够除尽，则正确。