各向异性滤波算法+数学模型分析

时间:2024-03-15 19:50:37

主要是用来平滑图像的,克服了高斯模糊的缺陷,各向异性扩散在平滑图像时是保留图像边缘的(和双边滤波很像)。

通常我们有将图像看作矩阵的,看作图的,看作随机过程的,记得过去还有看作力场的。

这次新鲜,将图像看作热量场了。每个像素看作热流,根据当前像素和周围像素的关系,来确定是否要向周围扩散。比如某个邻域像素和当前像素差别较大,则代表这个邻域像素很可能是个边界,那么当前像素就不向这个方向扩散了,这个边界也就得到保留了。

先看下效果吧:

各向异性滤波算法+数学模型分析

各向异性滤波算法+数学模型分析

具体的推导公式都是热学上的,自己也不太熟悉,感兴趣的可以去看原论文,引用量超7000吶。

我这里只介绍一下最终结论用到的公式。

主要迭代方程如下:

各向异性滤波算法+数学模型分析

其中lamda取值[0,1/4],其中1/4表示四个方向扩散平均量(可以说保证不溢出),可以用来调节平滑性!!!可能有些人对于上面的式子会不会存在像素值溢出的情况!这里说明下,可以说绝对不会,因为上面是扩散的原理,扩散告诉我们大的往小的跑达到中和平滑的目的,假如中心点的像素的值为255,那么周围像素要么相等要么小于,故这样的中心的像素的值只会往外面扩散,或者不动不扩散!

 I就是图像了,因为是个迭代公式,所以有迭代次数t。

四个散度公式是在四个方向上对当前像素求偏导,news就是东南西北嘛,公式如下:

各向异性滤波算法+数学模型分析

 而cN/cS/cE/cW则代表四个方向上的导热系数,边界的导热系数都是小的。公式如下:

 各向异性滤波算法+数学模型分析

 最后整个公式需要先前设置的参数主要有三个,迭代次数t,根据情况设置;导热系数相关的k,取值越大越平滑,越不易保留边缘(失去对边沿信息保留,即边沿信息将扩散掉,结合函数模型去理解);lambda同样也是取值越大越平滑。

那么问题来了,为什么用这样的数学模型?鄙人真心难解释,我深深的仰望前辈们,也希望可以在前辈们的丰功伟绩中吸收点养分!

经过抓挠了一段时间,将上面的关系建成数学表达式,试图通过几何画出该函数的模型:

各向异性滤波算法+数学模型分析

其中f(x)=x*exp(-x^2)(该模型可以说是高斯函数一阶导函数:达到sobel+高斯的双重合并效果) ,上图红线表示高斯函数,蓝线表示高斯的一阶导函数。

通过该函数图分析,的确很清晰的表明了关系,当x大到一定程度的时候其函数值收敛为0,这也就是说明当像素之间的差值很大的时候,函数值也是为0,也就可以表明这是边沿,这个时候不需要向外扩散。但也表明在一定的范围内,差值在一定范围内,也就是平滑范围,差值在该范围内的都视为是平滑,也就是不变平担区域,需要扩散,可能是邻域向中间聚集,可能是中心向外扩散。扩散过程就是让中心与周围的像素的差异不要太大,分一点给他们,或者他们分一点给中心,因此该算法用于平滑图像,同时又极大程度的保留了边沿,这也是高斯算法和均值算法无法比你的优势!!!


除了上面的函数模型外还有另外一个函数:

各向异性滤波算法+数学模型分析

这个函数模型也是可以的,f(x) = 1/(1+(x/k)^2),对于上面的模型其中k=1

以上两个函数模型比较:

各向异性滤波算法+数学模型分析

两者太相似了,兄弟函数!我们找这样函数的本质是当值很大(正无穷或者负无穷)的时候收敛于0!

最后是matlab代码:

各向异性滤波算法+数学模型分析
clear all;
close all;
clc;

k=15;           %导热系数,控制平滑
lambda=0.15;    %控制平滑
N=20;           %迭代次数
img=double(imread('lena.jpg'));
imshow(img,[]);
[m n]=size(img);

imgn=zeros(m,n);
for i=1:N

    for p=2:m-1
        for q=2:n-1
            %当前像素的散度,对四个方向分别求偏导,局部不同方向上的变化量,
            %如果变化较多,就证明是边界,想方法保留边界
            NI=img(p-1,q)-img(p,q);
            SI=img(p+1,q)-img(p,q);
            EI=img(p,q-1)-img(p,q);
            WI=img(p,q+1)-img(p,q);
            
            %四个方向上的导热系数,该方向变化越大,求得的值越小,从而达到保留边界的目的
            cN=exp(-NI^2/(k*k));
            cS=exp(-SI^2/(k*k));
            cE=exp(-EI^2/(k*k));
            cW=exp(-WI^2/(k*k));
            
            imgn(p,q)=img(p,q)+lambda*(cN*NI+cS*SI+cE*EI+cW*WI);  %扩散后的新值      
        end
    end
    
    img=imgn;       %整个图像扩散完毕,用已扩散图像的重新扩散。
end

figure;
imshow(imgn,[]);