【电力系统】——交流潮流、直流潮流

DC Power Flow

参考文献

1. handout_DC power flow and PTDF
2. 李文沅. 电力系统安全经济运行-模型和方法[M]. 第1版. 重庆大学出版社, 1989.

交流潮流

下图为N端口网络，共有N+1个节点（0，1，2，…，N），其中节点0为参考节点。

假设各节点电压为${V_{bus}} = {[{V_1},{V_2},...,{V_N}]^T}$Vbus​=[V1​,V2​,...,VN​]T，各节点注入电流为${I_{bus}} = {[{I_1},{I_2},...,{I_N}]^T}$Ibus​=[I1​,I2​,...,IN​]T。用导纳矩阵形式表示的网络方程可写为：
${I_{bus}} = {Y_{bus}}{V_{bus}} \tag{1}$Ibus​=Ybus​Vbus​(1)
对于节点$i$i，式$(1)$(1)可写为：
${I_i} = \sum\limits_{j = 1}^N {{Y_{ij}}{V_j}} \tag{2}$Ii​=j=1∑N​Yij​Vj​(2)

对式$(2)$(2)两边取共轭，并左乘节点$i$i电压，可得：

${S_i} = {P_i} + j{Q_i}= {V_i}I_i^* = {V_i}\sum\limits_{j = 1}^N {Y_{ij}^*V_j^*} \tag{3}$Si​=Pi​+jQi​=Vi​Ii∗​=Vi​j=1∑N​Yij∗​Vj∗​(3)

式$(3)$(3)即为N节点电力系统潮流方程的一般形式，亦称为直角坐标形式的潮流方程。

注意，此处的「N节点」是指除去地节点后系统包含的节点数。事实上，日常称呼的「6节点系统」、「39节点系统」中的节点数均是如此。和正文开篇的说法有所不同，但正文开篇的描述十分严谨，不会有理解上的问题。

将展开式$(3)$(3)为实部和虚部，可得：

其中${Y_{ij}} = {G_{ij}} + j{B_{ij}}$Yij​=Gij​+jBij​。

式$(4)$(4)进一步用极坐标形式表示，即极坐标形式的潮流方程：

注意，目前式子里出现的功率都还只是$P_i$Pi​，表示注入节点$i$i的功率，尚未涉及线路具体的潮流分布，即线路$ij$ij流过的有功功率，下面就继续推导得到线路潮流$P_{ij}$Pij​。

表示节点电压的$U$U和$V$V用串了，在本文中都是表示节点电压。

线路潮流的推导需要借助于下面这张图（用visio手画的，说实话觉得还挺好看），这张图真的很重要！！

由上图，有下列各式成立：

${P_{ij}} + j{Q_{ij}} = {{\dot U}_i}\dot I_{ij}^* = {{\dot U}_i}\left( {\dot I_{i0}^* + \dot I_{ij}^{'*}} \right)\tag{6}$Pij​+jQij​=U˙i​I˙ij∗​=U˙i​(I˙i0∗​+I˙ij′∗​)(6)

电路理论知识：

联立式$(6、7、8)$(6、7、8)可得：

式$(9)$(9)即为线路潮流分布。在节点的情况（注入有功无功功率、电压幅值和相位）确定后，潮流分布是唯一确定的，所以潮流计算的直接目的是求取节点电气量（注入功率、电压幅值+相位），潮流分布是后续进一步计算得到的。

几点假设

直流潮流主要是进行有功潮流的分布计算，有以下几点假设：

• 支路电抗比支路电阻大得多，忽略支路电阻，即$G_{ij}=0$Gij​=0，故有如下式子成立

$G + jB = jB = {1 \over {R + jX}} = {1 \over {jX}} = - j{1 \over X} \tag{10}$G+jB=jB=R+jX1​=jX1​=−jX1​(10)

因此线路导纳为：
${B_{ij}} \approx - {1 \over {{x_{ij}}}}\tag{11}$Bij​≈−xij​1​(11)

• 支路两端电压相角差很小，故有

• 忽略所有对地支路，即$G_{i0}+jB_{i0}=0$Gi0​+jBi0​=0

• 各节点电压幅值相等，并等于标幺值1，即$\left| {{U_i}} \right|=1$∣Ui​∣=1

简化—>直流潮流

将式$(7)(8)$(7)(8)代入式$(5)$(5)中的有功表达式，可得：

${P_i} = \sum\limits_{j = 1}^N {({B_{ij}}({\theta _i} - {\theta _j}))} = \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^N {{B_{ij}}{\theta _i}} - \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^N {{B_{ij}}{\theta _j}} = {\theta _i}\sum\limits_{j = 1,j \ne i}^N {{B_{ij}}} - \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^N {{B_{ij}}{\theta _j}} \tag{13}$Pi​=j=1∑N​(Bij​(θi​−θj​))=j=1,j​=i∑N​Bij​θi​−j=1,j​=i∑N​Bij​θj​=θi​j=1,j​=i∑N​Bij​−j=1,j​=i∑N​Bij​θj​(13)

上式可写为矩阵形式：

$P = B\theta \tag{14}$P=Bθ(14)
其中，$P = {[{P_1},{P_2},...,{P_N}]^T}$P=[P1​,P2​,...,PN​]T，$\theta = {[{\theta _1},{\theta _2},...,{\theta _N}]^T}$θ=[θ1​,θ2​,...,θN​]T，$B$B 矩阵是一个$N*N$N∗N的矩阵，其中元素可表达如下：

注意这里的$B_{ij}$Bij​指$B$B矩阵的元素，前文的$B_{ij}$Bij​指线路$ij$ij的电纳。本来我是想用$b_{ij}$bij​表示线路电纳，但是看到很多参考书都是用大写字母，所以就没有换。

式$(15)$(15)中的第一、二行由式$(13)$(13)很容易得到，至于未直接相连节点之间的$B_{ij}$Bij​为0，可以这么想：没有直接相连，可以认为$x_{ij}=\infty$xij​=∞，取倒数，自然为0。

直​流潮流模型下，线路潮流$P_{ij}$Pij​的表达式可通过将直流潮流的假设条件代入式$(9)$(9)得到：

${P_{ij}} = - {B_{ij}}{\theta _{ij}} = {{{\theta _{ij}}} \over {{x_{ij}}}} = {{{\theta _i} - {\theta _j}} \over {{x_{ij}}}} \tag{16}$Pij​=−Bij​θij​=xij​θij​​=xij​θi​−θj​​(16)
式$(16)$(16)就是优化模型中写了无数遍的直流潮流方程约束了。

理论上，直流潮流应该先利用式$(14)$(14)求得节点电压相角，然后利用式$(16)$(16)求得潮流分布。

但由于直流潮流只是一些简单的线性方程式，实际求解过程中，直接给出式$(16)$(16)形式的系列等式约束，然后丢给求解器求解即可。

小结

只是推导潮流方程的话本身并不是什么难事，网络方程一些，再搭配电路理论的基本等式就出来了。直流潮流不过是假设了一些条件，使得方程极大程度简化，并不是另辟蹊径的新东西。

还有就是直流潮流并未涉及无功功率，假定电压幅值都为1其实就已经忽略了无功了，因为电压水平是需要无功支撑的，这里默认电压幅值稳定在1，所以不考虑无功也是自然而然的。

潮流计算的重点其实在于计算，本文并未涉及这部分内容。当初学电分的时候，这部分也是颇难理解的章节之一，后续有必要采取同样的形式整理一篇笔记出来。

另外，最近越发觉得有必要自己动手编程实现一下潮流计算。编程语言的话，我觉得无论采取什么语言实现了第一遍，后面改用其他语言难度应该是不大的。

没想到这东西写起来这么费时，敲公式的确是个比较枯燥的过程，但是敲完然后贴到typora里面那一瞬的感觉还是颇为舒爽。

起初以为自己已经看懂的直流潮流，重新梳理一遍发现之前脑海中还是有些想当然的点，比如式$(16)$(16)的得出还是需要借助于交流潮流分布的表达式的。所以能够亲自整理的话的确能极大程度上加深理解。

吐槽

CSDN的公式兼容得不如typora呀！！typora上都正常显示了，到这里就error，所以好几个公式都是截图的~~