克拉默法则(Cramer's Rule)的证明

时间:2024-03-10 22:35:26

 克拉默法则:

 

先说一下为什么要写这个,作为一个大一新生,必须要学的就包括了线性代数,而且线性代数等数学知识对计算机专业也有很大帮助。但是在学习过程中遇到一个讲解的不清楚的知识点(Cramer\'s Rule),于是上网查询,但是出乎意料的是网上的证明方法都复杂且大多数都是用验证法,这对于数学的学习是及其没有帮助的,我作为一个数学爱好者就开始探索了。我坚信所有成立的公式都可以有一个显式的解读,不能读出来总是你打开的方式不对。

一、引理(行列式的性质)(参考书籍:Introduction to Linear Algebra,Gilbert Strang, Wellesley-Cambridge Press, ISBN:0980232775, 9780980232776, 2016.)

  1. 单位矩阵的行列式为1.
  2. 把矩阵A的行a加到矩阵A的行b,矩阵行列式不变(a≠b).
  3. 对角矩阵的行列式等于对角线元素乘积.
  4. detAB=(detA)(detB).//两个矩阵乘积的行列式等于两个矩阵的行列式的乘积.

以上引理均为转述,并非原文,有需要请查阅原书。

二、证明(注意表示单位矩阵,同某些书的 E)

第一步,将其化为它真正表达的意思

第二步,

det(I)=1,没错这个就证明结束了。

可能最后一步有人没有看懂,我解释一下。

我们用(j=1,2,3....n),来表示A的每一列,用

稍微看一下矩阵乘法,我们明白

而显然

也就是

而用引理2(把矩阵A的行a加到矩阵A的行b,矩阵行列式不变(a≠b).)可以将第j列除第j行以外的所有值减为0,

根据引理三(对角矩阵的行列式等于对角线元素乘积.).(或者也可以利用提出一行的公因子)

证毕。

 

引理的证明请看书或者自行百度。

如果以上结果有误,请联系我。

如果想要我证明其它公式的,请联系我。

如果有同样喜欢数学的,也可以一起探讨。