有关矩阵的几点总结
一．矩阵除法
矩阵的除法是矩阵乘法的逆运算，分为左除和右除两种，分别用运算符号”\”和”/”表示。
1） A\B = inv(A) * B
2） A/B = A * inv(B)
其中，inv(A)指A的逆矩阵。
注意：
对于一般的二维矩阵A和B， 当进行左除运算时，要求两个矩阵的行数相等；当进行右除运算时，要求两个矩阵的列数相等。
二．矩阵的范数运算
范数的定义来自向量，如下：
对于线性空间中的一个向量X= {x1, x2, x3, …, xn}, 如果存在一个函数R(x)满足以下3个条件：
1） R(x)>0, 且R(x)=0的充要条件为x=0
2） R(ax)=|a|R(x), 其中a为任意标量
3） 对于向量x 和 y， 有R(x+y)<=R(x)+R(y)
则成R(x)为向量X的范数，一般记为||X||.
矩阵的范数最常用的是1， 2和无穷阶范数，定义如下：
对于矩阵A， 它的1阶范数等于各列向量和中的最大值；它的2阶范数等于矩阵ATA的特征值中绝对值最大者的开平方；它的无穷阶范数等于行元素绝对值之和的最大值。
三．矩阵的化零矩阵
对于非满秩矩阵A， 若存在矩阵Z使得AZ=0且ZTZ=I, 则称矩阵Z为矩阵A的化零矩阵。
四．矩阵的正交空间
（一） 正交矩阵
如果：AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”。）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵， 若A为正交阵，则满足以下条件:
1) AT是正交矩阵
2) ATA=AAT=E（E为单位矩阵）
3) A的各行是单位向量且两两正交
4) A的各列是单位向量且两两正交
5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
6) |A| = 1或-1正交矩阵通常用字母Q表示。
（二）矩阵的正交空间
矩阵A的正交空间Q具有空间Q’ * Q=I的性质，并且Q的列矢量构成的线性空间与矩阵A的列矢量构成的线性空间相同，且正交空间Q与矩阵A具有相同的秩。
五．矩阵的分解
1. 对称正定矩阵的Cholesky分解
1） 正定矩阵
设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M正定矩阵。
正定矩阵在合同变换下可化为标准型， 即对角矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。
正定矩阵的性质：
正定矩阵一定是非奇异的。奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A为奇异阵，则其的行列式为零，即 |A|=0。
正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。
若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。
对称正定矩阵，顾名思义，就是对称的正定矩阵，是正定矩阵中的一种特殊情况
2） Cholesky分解
Cholesky 分解是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。它要求矩阵的所有特征值必须大于零，故分解的下三角的对角元也是大于零的。Cholesky分解法又称平方根法，是当A为实对称正定矩阵时，LU三角分解法的变形。
A的全部顺序主子式det（ AK ）>0。（A能够作Cholesky分解的充要条件）
如果矩阵A为n阶对称正定矩阵，则存在一个对角元素为正数的下三角实矩阵L，使得：当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的，称为Cholesky分解。
2. 一般方阵的高斯消去法分解
高斯消去法分解又称LU分解，它可以将任意一个方阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU.
考虑到线性方程组Ax=b, 其中，对矩阵A可以做LU分解，使得A=L.U， 这样线性方程就可以改写成L.U.x=b, 由于左除运算符”\”可以快速处理三角矩阵，因此可以快速解出：
X=U\(L\b)
利用LU分解来计算行列式的值和矩阵的逆，其命令形式如下：
l det(A)= det(L)*det(u)
l inv(A)=inv(L) * inv(U)
3. 矩形矩阵的正交分解
矩形矩阵的正交分解又称为QR分解。QR分解把一个m x n的矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积， 即A=Q . R.
4. 舒尔分解
A=U*S*UT
其中A必须是一个方阵，U是一个酉矩阵， S是一个块对角化矩阵，由对角线上的1 X 1和2 X 2块组成。特征值可以由就很S的对角块给出，而矩阵U给出比特征向量更多的数值特征。此外，对缺陷矩阵也可以进行舒尔分解。
六．其他矩阵
1. 置换矩阵
设P 是一个 m×n 的 (0,1) 矩阵，如 m≤n且 PP′=E，则称 P为一个 m×n的置换矩阵。其中P′是P的转置矩阵，E是m阶单位方阵。
定理 1 当 m≦n时，一个 m×n 的(0,1) 矩阵P为置换矩阵的充要条件是P的每一行恰有一个 1，每一列恰有一个 1。
置换矩阵在数学中的矩阵论里，置换矩阵是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1，其余的系数都是0。在线性代数中，每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素（n维空间的基）的置换。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时，所得到的是原来矩阵的横行（置换矩阵在左）或纵列（置换矩阵在右）经过置换后得到的矩阵。
2. 奇异矩阵
奇异矩阵是线性代数的概念，就是对应的行列式等于0的方阵。
3. 复矩阵
复矩阵，指的是元素中含有复数的矩阵。
4. 酉矩阵
n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。显然酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广。
设有矩阵 A, B，则
若 A 是酉矩阵，则A 的逆矩阵也是酉矩阵；
若A, B 是酉矩阵，则A.B 和B.A 也是酉矩阵；
若 A 是酉矩阵，则|det(A)| =1；
A 是酉矩阵的充分必要条件是，它的 N 个列向量是两两正交的单位向量。