线性代数笔记5——平面方程与矩阵 - 我是8位的

时间:2024-03-10 12:10:18

线性代数笔记5——平面方程与矩阵

线性方程的几何意义

二元线性方程

  该方程是一个二元线性方程组,包含两个方程,每个方程是一条直线,两条直线的交点就是该方程有唯一解,这就是二元线性方程的几何意义。

平面方程

  空间内不在同一直线上的三点构成一个平面,平面方程可表示为ax + by + cz = d。平面方程也称为三元线性方程。

  方程x + 4y + z = 8,在xyz三个坐标轴上的截距分别是(8,0,0),(0,2,0),(0,0,8),下图是该函数在坐标轴上的示意图:

  需要注意的是,平面是无限延伸的。

根据法向量求平面方程

  现在需要找到一个过原点的平面,它有一个过原点的法向量是<1, 5, 10>。

 

 

  如上图所示,P<x, y, z>是所求平面上的向量,法向量N⊥OP,因此:

 

  这就是平面方程。

  再看一个稍微不同点的问题,一个平面的法向量是N<1, 5, 10>,该平面经过P0(2, 1, -1),求该平面方程。

  由于拥有同一个法向量,所以这是与上一个平面平行的平面:

  平面上的任意点P1是(x, y, z),向量P0P1N

  上面两个方程唯一的不同点就是ax + by + cz = d 中的d,其它参数对应了穿过原点的法向量,实际上,d两个平行平面的距离。根据这个特点,可以很快求得第二个平面方程:

 

  示例

  向量V = <1, 2, -1>与平面x + y + 3z = 5的关系?

  平面的法向量N = <1, 1, 3>,容易看出,V·N = 1×1 + 2×1 + (-1)×3 = 0,VN,向量V与平面平行。需要注意的是,向量不是点(实际上向量有无数点),<1, 2, -1>不同于(1, 2, -1),在没有特殊说明的情况下,可以认为向量从原点出发。如果向量V从原点出发,V经过点(1, 2, -1),但该点并不在平面上。

平面方程组的解

  三元线性方程组,设三个平面分别是P1,P2,P3,该方程组有唯一解,即这三个平面相交于一点,三个方程两两相交于一条直线:

  平面方程组也可能出现无解的情况,一种典型的情况是三个平面平行。如果P1∩P2≠φ,即二者相交于一条直线,根据P3的位置,平面方程组可能有唯一解,无解,或有无数解。下面是无数解和无解的情况:

 

无数解和无解

  总结一下,如果P1与P2相交,它们的交线:

  1. 与P3相交于一点,则方程组有唯一解;
  2. 在P3上,则方程组有无数解;
  3. 与P3平行,且不在P3上,方程组无解。

  当然,如果P3与P1或P2中一个相同,则结集是一个平面。

点到平面的距离

  平面方程是ax + by + cz = d,平面外一点P = (x0, y0, z0),求该点到平面的距离。

 

  PQ垂直于平面,现在要求PQ的长度,但是并不知道Q点的具体数值。

  设P’ = (x1, y1, z1)是平面上的一点,现在将问题转换为向量:

 

  向量QPP’ P在法向量N方向上的分量,也就是P’ PN相同方向的单位向量的点积。(可参考《线性代数笔记3——向量2(点积)》)设距离为D,则:

 

求解线性方程

  当然可以使用初中的代数知识求解线性方程组,这里主要讨论如何用矩阵求解。

消元法

  

  首先将方程组以矩阵的方式表示:

  该矩阵称为增广矩阵。由于是线性方程组,可以省略未知数:

 

  现在可以对其进行消元,首先消去x,方法与普通代数法类似:

  用同样的方法对y消元:

  矩阵第三行对应-31z = 62,z = -2

  最终可解得

  可以看出,消元法本质上与初中的代数法没有区别,只是换了一种较为简单的表现形式,对于多元线性方程组,其消元过程十分繁琐。

矩阵法

  

  这里需要使用列向量的概念,列向量是一个 n×1 的矩阵,即矩阵由一个含有n个元素的列所组成:列向量的转置是一个行向量,反之亦然。

  将上面的方程组用矩阵和向量表示:

  实际上可看作 x = b/A,有点意思了,可以通过一个除法运算直接求得方程的解。

  解得

  对于多元线性方程组,使用矩阵法求解比消元法简单的多。

  我们用python求解消元法中的方程组

1 import numpy as np
2 
3 a = np.matrix([[-1,2,-1],[3,-7,-2],[2,2,1]])
4 c = np.matrix([[9,-20,2]]).T
5 result = a**-1 * c
6 print(result)

  

无解的方程组

  线性方程组在用矩阵向量法转换后,如果矩阵A是奇异矩阵,A-1没有定义,该方程组无解。对于二元线性方程组来说,其几何意义是两条平行的直线。

  如  ,该方程组无解,  是奇异矩阵。下图是该方程组在坐标轴上的图像:

 

多个线性方程组

  现在来看下面的矩阵:

 

  如果把这个矩阵根据乘法展开,将得到两个矩阵:

 

  这就可以看作是两个线性方程组:AX1 = b1,AX2 = b2

消元法求逆矩阵

  上面的示例中, 的逆,现在尝试用消元法求解。增广矩阵形式:

  我们的目标是将其变为IA-1

示例

示例1

  求下面的平面方程:

  a)       已知平面的法向量N = <1, 2, 3>,平面过点(1, 0, -1)

  b)       平面过原点且平行于两个向量A = <1, 0, -1>和B = <-1, 2, 0>

  c)       平面过点P1(1, 2, 0), P2(3, 1, 1), P3(2, 0, 0)

  d)       平面与a中的平面平行,且经过点(1 , 2, 3)

 

  a.

  平面方程ax + by + cz = d,N = <1, 2, 3> =<a, b, c>,所以平面方程是x + 2y + 3z = d

  将点(1, 0, -1) 代入平面方程,1 + 0 -3 = -2 = d

  平面方程是 x + 2y + 3z = -2

 

  b.

  平面方程ax + by + cz = d

  ∵AB过原点,且与平面平行,并且平面过原点

  ∴AB在平面上,d = 0

  已知平面上两个个向量从同一点出发的向量,计算平面的法向量:

 

  平面方程是 2x + y + 2z = 0

  根据叉积计算法向量可参考《线性代数笔记4——向量3(叉积)

 

  c.

 

  平面方程2x + y – 3z = d,取任意点代入,d = 4。平面方程是2x + y – 3z = 4

 

  d

  a的平面是x + 2y + 3z = -2,由于该平面平行于a,所以该平面是x + 2y + 3z = d。

  将点(1 , 2, 3)代入,1 + 2×2 + 3×3 = 14 = d

  平面方程是x + 2y + 3z = 14

 示例2

  求原点到平面2x + y -2z = 4的距离。

 

总结

  1. 二元线性方程组的几何意义是平面上的两条直线,其解是二者的交点
  2. 三元线性方程组的几何意义是三维空间上的三个平面,可能存在唯一解、无数解或无解
  3. 平面方程用ax + by + cz = d,点到平面的距离
  4. 如果线性方程组对应的矩阵是奇异矩阵,则该方程组无解

 


   作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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