前言阅读：
一文搞懂交叉熵在机器学习中的使用，透彻理解交叉熵背后的直觉（基础知识）
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对变分一词最好的解释：“变分（variation）求极值之于泛函，正如微分求极值之于函数。 ”
读论文《Auto-Encoding Variational Bayes》（加精）
VAE（1）——从KL说起（比较容易理解，但是不够深入，同理下面3个）
VAE(2)——基本思想
VAE(3)——公式与实现
VAE（4）——实现
变分自编码器（VAEs）
【Learning Notes】变分自编码器（Variational Auto-Encoder，VAE）（次加精，公式部分推导的不太容易理解）
变分推断（次加精，刚开始的推导比较好理解，到后面涉及概念比较多，不容易理解，整体讲的比较全面）（还需要反复阅读，里面有些感念理解不清楚；有一种醉拳的感觉，讲的比较散，但好像又都围绕一个核心在讲，只是自己还体会不到）
变分自编码器VAE：原来是这么一回事 | 附开源代码（加精，这篇有很多作者的思考，与以往直推公式不同）
推导变分自编码VAE损失函数（Youtube视频）（最好）
基础知识：
一个例子搞清楚（先验分布/后验分布/似然估计）
对Auto-Encoding Variational Bayes的解读：
深度学习（五十一）变分贝叶斯自编码器(上)（加精，理论知识点和技术细节都有）（侧重公式推导，忽略了背后原因）
深度学习（五十二）变分贝叶斯自编码器（下）(加精，理论知识点和技术细节都有) (侧重公式实现，忽略了背后原因)
Auto-Encoding Variational Bayes（公式推导比较完整，细）
《Auto-encoding Variational Bayes》阅读笔记（精简扼要）（其中，不可计算问题部分，隐约说了为什么不用EM，而用VAE）
Auto-Encoding Variational Bayes学习笔记（也不错）
从自编码器到变分自编码器（其一）
从自编码器到变分自编码器（其二）（比较生动）
变分推断与变分自编码器(VAE) 作者用自己的思考来理解VAE(加精)，看完前面的之后，再看这个，会豁然开朗
VAE对于很多刚接触的人来说，印象有如下：
1）生成模型；知道其叫：变分自编码器，属于自编码器，即一个生成模型；可以用来不断生成新的符合条件的变量。
2）公式复杂；VAE, 来自于变分推断（variational inference）和贝叶斯公式（这篇文章深度学习（五十二）变分贝叶斯自编码器（下）可以用来打基础，补补概率知识），其中，变分又属于泛函（即函数的函数），因此，VAE里面包括复杂的公式推导，例如ELBO, re-parameter tricks, KL散度（也叫相对熵，具体参考详解机器学习中的熵、条件熵、相对熵和交叉熵，其中这句话很经典“最小化相对熵等价于最小化交叉熵也等价于最大化似然估计”）， 比较头大。
3）深度学习模型；里面比较复杂的公式，通过具有模拟非线性特征的深层网络来拟合。
除了以上列的3点，如果想进一步深入研究就比较困难，以下是最近看了这么多博客后的总结。因为每家博客都有自己看待VAE的角度(如有的从$L(\theta)$来推导公式，有的从$KL(Q(z|z)||p(z|x))$来推导)，看的多了的话，会感觉每家说的都有道理（公式推导的很流利），但真到自己来梳理（讲出每一步那样做的原因）却又理不出个头绪，所以经过反复琢磨各个博客，选择了一个最容易入手的角度梳理下VAE，顺便根据各个博客讲解的特点将其放在合适的地方，方便读者进一步理解：
VAE像很多机器学习方法一样，其最原始的目标是为了得到可观察到的事件X的概率分布，即$P(X)$；因为有了这个分布后，VAE作为一个生成模型，就可以产生出各式各样符合需要的x；
=>而X的分布往往含有分布模型的参数$\theta$, 因此需要估计的X分布为$p(X;\theta)$.
=>同时，更进一步，因为很多事件中含有隐藏变量$z$, 所以需要估计的分布为$p(x,z;\theta)$, 即$p(x;\theta)=\int p(x,z;\theta)dz$.
=>那么为了计算这个具体的分布，需要估算其中的$\theta$,利用基于这个概率分布$\prod_{i=0}^n \int p(x_i,z;\theta)dz$的对数似然估计最大化$\sum_{i=0}^n \ln \int p(x_i,z;\theta)dz$，通过求导$\sum_{i=0}^n \frac{\int \nabla_{\theta}p(x_i,z;\theta) dz }{ \int p(x_i,z;\theta) dz} $，并令导数为0，可计算其中的$\theta$.
=> 但是在上面的求导计算中，需要对概率积分，通常采用蒙特卡洛采样；由于，采样效率比较低，即采样z的分布与$p(z|x)$不一致造成(具体参考变分推断与变分自编码器)，所以希望有一个与$p(z|x)$相一致的分布来采样z，从而提高采样的效率。
=> 由此，问题转化为求一个与$p(z|x)$近似的分布$Q(z|x)$，此后的详细步骤可以参考系列文章（VAE(1-4)）。
=>以上都是理论推导，如何真正用代码进行实现，可以参考（深度学习（五十二）变分贝叶斯自编码器（下））
将VAE 用在推荐：
（讲解的比较好的一个博客）
Variational Autoencoders for Collaborative Filtering
