两个特殊的线性空间 - 一动不动的葱头

时间:2024-03-04 22:18:48

两个特殊的线性空间

一、引入特殊线性空间的必要性  

  在线性空间中,向量的基本运算金石线性运算,但是,若以解析几何中讨论过的通常三维向量空间R3作为线性空间的一个模型,就会发现在R3中诸如向量的长度、两个向量的夹角等度量概念,在线性空间的理论中还未得到反映。这些度量性质在很多实际问题中有着特殊的地位,这些度量性质在很多实际问题中有着特殊的地位。

二、Euclid空间的定义与性质

定义

  在原线性空间的基础上,满足更多的条件:给定的线性空间中,任意两个向量x与y,用(x,y)表示,满足四个条件:

(1)交换律:(x,y)=(y,x)

(2)分配率:(x,y+z)=(x,y)+(x,z)

(3)齐次性:(kx,y)=k(x,y)

(4)非负性:(x,x)≥0.当且仅当x=0,取等号

  则称V为Euclid空间,简称欧式空间或实内积空间

无限维的情况:(f(t),g(t))=∫f(t)g(t)dt,对于实线性空间C(a,b)

矩阵内积:(A,B)=tr(AB-1)

注意到,内积运算和向量的线性运算是彼此无关的运算,所以无论内积如何规定,都不会影响实线性空间的维数。

性质

(1)(x,ky)=k(x,y)

(2)(x,0)=(0,x)=0

(3)(∑ξixi,∑ηjyj)=∑ξiηj(xi,yi)

度量矩阵

三、向量长度、夹角

长度

长度又称模、范数,表示为|x|或||x||,根据非负性,它等于内积的平方根

性质

|kx|=|k| |x|

|x+y|≤|x|+|y|

单位向量

1/|x|*x(单位化或规范化)

向量夹角

cos<x,y>=(x,y)/|x| |y|

不等式:|(x,y)|≤|x| |y|,但且仅当x,y至少有一个是零向量或它们线性相关时,取等号

<x,y>=arccos(x,y)/|x| |y|

Schwarz不等式:

正交性(或垂直)

正交向量组(它们线性无关)->标准正交基(或法正交基)=>(xi,xj)=δij。当i=j时,δij=1,否则δij=0

Schmidt正交化

 四、正交变换与正交矩阵

 定义1:设V为欧式空间,T是V的一个线性变换,如果T保持V中任一个向量的长度不变,即有

  (x,x)=(Tx,Tx)

那么称T是V的一个正交变换

定理1:线性变换T为正交变换的充要条件是,对于欧式空间V中任两个向量x,y都有

  (x,y)=(Tx,Ty)

 

定义2:如果实方阵Q满足QTQ=I或Q-1=QT,则称Q为正交矩阵

定理2:欧式空间的线性变换是正交变换的充要条件是,它对于标准正交基的矩阵是正交矩阵。
推论1:正交矩阵是非奇异的。

推论2:正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵。

推论3:两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵。

注意:正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵;但是,它在别的基下的矩阵可能是正交矩阵,也可能不是正交矩阵。

五、对称变换与对称矩阵

设T是欧式空间V的一个线性变换,且对V任意两个向量x,y都有

  (Tx,y)=(x,Ty)

成立,则称T为V中的一个对称变换

定理1:欧式空间的线性变换是是对称变换的充要条件是,它对于标准正交基的矩阵是实对称矩阵。

定理2:实对称矩阵的特征值都是实数。

定理3:实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。

注意:就实对称矩阵而言,属于同一特征值的线性无关的特征向量不一定是正交的。但是,可以使用Schmidt正交化方法将它们正交化。

 六、酉空间

  欧式空间是针对实数域R上的线性空间而言的,这里讲介绍的酉空间是一个特殊的复线性空间。酉空间的理论与欧式空间的理论很相近,有一套平行的理论。

定义:四个条件

内积定义

夹角

正交

Schmidt正交化

正交基和标准正交基

酉变换

酉矩阵

Hermite变换

Hermite矩阵:AH=A

Hermite矩阵的特征值都是实数

属于Hermite矩阵的特征值都是实数

属于Hermite矩阵的不同特征值的特征向量必定正交

七、几个定理

定理1:n阶矩阵正交(酉)相似于上三角矩阵

定义1:设A属于Cn×n,且等式

           AHA=AAH

  成立,则称A为正规矩阵

容易证明,正交矩阵、酉矩阵、对角矩阵、是对称矩阵以及Hermite矩阵都是正规矩阵。此外,B=UHEU也是,其中E是对角矩阵。

定理2

(1)设A属于Cn×n,则A酉相似于对角矩阵的充要条件是A为正规矩阵;

(2)设A属于Rn×n,且A的特征值都是实数,则A正交相似于对角矩阵的充要条件是A为正规矩阵;

推论

(1)实对称矩阵正交相思雨对角矩阵

(2)设T是欧式空间Vn的对称变换,则在Vn中存在标准正交基y1,y2,...,yn,使T在该基下的矩阵为对角矩阵。

补充:(酉相似定义)

设A∈Cˇ(n*n),则存在U∈Uˇ(n*n) (这里,Uˇ(n*n) 表示n阶酉矩阵的集合),使得
A=URU℡(U℡为U的共轭转置)
其中,R为对角线是A的特征值的上三角阵。这时,称A与R酉相似。
这个定理说明,任意n阶方阵均能与上三角阵酉相似,它可以用数学归纳法证明。
参考文献
《矩阵论》 程云鹏