概率论与数理统计图式(第一章 概率论的基本概念)1.2概率

时间:2024-03-04 19:42:49

概率论与数理统计图示(第一章 概率论的基本概念)

1.2概率

1、概念


概率:对随机时间发生可能性大小的客观度量

频率:频率≠概率,只能作为概率估计

古典概率:有限性、等可能性

几何概率:古典概率的推广,将“等可能性”推广至“均匀性”

2、概率公理化定义


1.非负性:0≤P(A)≤1

2.规范性:P(Ω)=1

3.可例(完全)可加性:事例互不相容——事件概率和=事件和概率

3、概率的性质


1) P(Φ)=0

2)有限可加性

3)单调性

4)P(A)=1-P(A)

5)一般减法公式

  • P(A)=P(B)- P(AB)

6)AB不互不相容,一般加法公式

  • P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
  • 互不相容则合事件概率=事件概率做和

4、概率运算的总结


事件运算和概率加减对应

概率相乘/条件概率借与事件独立性相关,不归属于韦恩图能理解的概率运算,而属于条件概率乘法公式

5、条件概率    P(A|B)=P(AB)/P(B)


文字化表述:在事件B 发生的条件下,事件A发生的条件概率

P(A|B)与P(A)没有确定的大小关系

P(A|B)>P(A),B促进了A的发生

P(A|B)<P(A),B阻碍了A的发生

P(A|B)=P(A),B对A的发生没有影响

6、乘法公式 P(AB)=P(B)P(A|B)


求积事件概率

7、样本空间相关公式


样本空间的划分

事件满足互不相容,且并集为整个样本空间,称事件B1,B2,……,Bn为样本空间S的一个有限划分

即交是Φ,并是S?概率大于0

应用全概率公示的重点是找到划分

图示:

P(B1)—P(A|B1)—>

P(B2)—P(A|B2)—>P(A)

P(Bn)—P(A|Bn)—>

全概率公式 P(A)=∑(k=1->n)P(Bk)P(A|Bk)

  • 证明:
    • A包含于S=∪(k=1->n)Bk
    • A=A∩S=∪(k=1->n)(Bk×A)  
    • 加法公式P(A)=∑(k=1->n)P(Bk×A)  
    • 乘法公式P(A)=∑(k=1->n)P(Bk)P(A|Bk)  

与乘法公式转化:P(AB)=P(A×1)=P(A)

应用于知因求果的预测,事前概率

贝叶斯公式

A:结果事件而不是结果事件的概率,Bi:所有相异原因(划分)

P(Bj|A):A已经发生条件下,Bj导致其发生的概率

P(ABj):由Bj导致A的发生的概率

P(A):A发生的概率/在B1-Bn情况下A发生的概率

1)应用于执果求因的推测,事后概率

  先验概率:P(B1)

  后验概率:P(B1|A)

  全概率公式:先验概率P(Bi) *P(A|Bi)求和

  贝叶斯公式:后验概率P(B1|A)

2)贝叶斯公式的理解

  一般在通过全概率公式求出后的下一问,分母是作为已发生的作为条件,分子是全概率公式的一项,的条件概率。

  仅用条件概率想也没问题。

  例:同一题中

   (1)全概率公式中的一项: P(B1)P(A|B1)为事前

   (2)贝叶斯公式中的分子:P(B1|A)为事后

8、事件的独立性


1)定义公式:

1)P(A|B)=P(A)

2)P(AB)=P(A)P(B)根本

2)两两独立定义(三条件):

P(AB)=P(A)P(B)

P(BC)=P(B)P(C)

P(AC)=P(A)P(C)

3)A,B,C相互独立定义(四条件):

P(AB)=P(A)P(B)

P(BC)=P(B)P(C)

P(AC)=P(A)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

4)必然事件和不可能事件与其他事件相互独立

A,B相互独立,则A非与B,A与B非,A非与B非相互独立

9、标准化解答


1)设事件而不是设概率

2)分别求概率

3)写公式名,列公式:乘法公式、全概率公式

答题时把符号和概率值匹配

设事件时说明是一个划分,是相互独立事件(相互独立事件)

10、典型题/技巧


1)若不说明第k次前的取球结果,根据计算,第k次=第1次概率

2)P(A非B非)=P(A并B 非)=1–P(A并B)=1–[P(A)+P(B)—P(AB)]

3)P(A非B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)

4)并事件概率表达式P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)

5)n个交事件概率表达式

独立条件下,P=1-P((A1∪A2∪……∪An)非)=1-P(A1非A2非……An非)=1-P(A1非)P(A2非)……P(An非)

6)交事件概率表达式

独立条件下,P(A1A2)=P(A1)P(A2)

7)重点例题

Ai样本空间划分-全概公式

Ci相互独立事件

8)P(相互独立的三划分事件只发生其中一件)=P(C1C2非C3非∪C1非C2C3非∪C1非C非2C3)因互不相容=P(C1C2非C3非)+P(C1非C2C3非)+P(C1非C2非C3)=P(C1)P(C2非)P(C3非)+P(C1非)P(C2)P(C3非)+P(C1非)P(C2)P(C3非)

11、错题


1)概率为1的事件未必是必然事件?

一个点随机落进一个圆内,这个点落不到圆心的概率为:0,但仍可能发生

2)PPT1_3,P18