matlab-非线性方程求根函数及函数曲线绘制

时间：2024-03-03 21:36:51

Matlab中提供了很多求解非线性方程（y=f(x)）的函数，刚開始使用，真的很困惑。全部。这里依据matlab的help文档对这些函数做一些小小的总结

fsolve函数

用来求解非线性方程组：F(x)=0；当中，x是一个向量或者矩阵，F(x)的返回值是一个vector。以下是详细用法（以x0为初始点。利用优化算法寻找函数fun(x)与y=0的交点，即fun(x) = 0的根）：

局限性：仅仅能求解距离给定初始值近期的那个根

一个方程的情况

fun=x2+x+1

  • 在新的m文件里，书写该fun的计算函数
function y = fun(x)
    y = x^2+x-6;
end
  • 求解根

初值为-1时：
x = fsolve(@fun,-1)
结果为：result=-3
初值为2时：
x = fsolve(@fun,2)
结果为：result=2

能够看到，当给定的初始值不同一时候。fsolve的返回值不同。这是因为。fsolve返回的是距离给定初始点较近的那个根（fsolve在计算时，由初始点開始。逐步向零点逼近，当找到零点值后，优化停止，所以。这种方式仅仅能返回距离给定初始值x0近期的那个零点）

  • options參数

这里在求解根的时候，全部的优化參数都是使用的默认值，但实际上，优化參数能够通过options进行设置。能够设置详细优化方法（Algorithm）、是否显示每步迭代的结果（Display）、最大迭代步数（MaxIter）等， 设置方法例如以下：
options = optimoptions(\'\',\'\',\'\')
x = fsolve(@fun,2,options )

方程组（以包括两个方程的方程组为例）

y={ y1=x21+x1−6=0y2=2x22+x2−6=0

  • 在新的m文件里，书写该fun的计算函数
function y = fun(x)
    y(1) = x(1)^2+x(1)-6;
    y(2) = 2*x(2)^2+x(2)-6;
end
  • 求解根

初值为[-1,1]时：
x = fsolve(@fun,[-1,1])
结果为：result=[-3,1]

初值为[2,-1]时：
x = fsolve(@fun,2)
结果为：result=[2,-2]

fzero函数

用来求解非线性方程的根f(x)=0；该函数通过推断f(x)的符号是否发生变化来计算方程的根
详细地，假设x0是方程的根。那么。该函数在点x0+Δ和x0−Δ处的函数值符号一定相反，所以，该函数不能用来求解相似于x2=0这种方程

局限性：仅仅能求解距离给定初始值近期的那个根（与fsolve的局限性形同）

以下给出一个样例：

fun=x2+x+1

  • 在新的m文件里，书写该fun的计算函数
function y = fun(x)
    y = x^2+x-6;
end
  • 求解根

初值为-1时：
x = fzero(@fun,-1)
结果为：result=-3

初值为2时：
x = fzero(@fun,2)
结果为：fzero=2

初值为区间[-5,5]时：
x = fzero(@fun,[-2,5])
结果为：fzero=2
注意：当给定fzero为初识区间时，要求fun函数在区间的两个端点的符号不同

能够看到。利用该方法求得的结果与利用fsolve的结果同样，也是仅仅能返回距离给定初始值较近的那个根

  • options參数

这里的options參数与fsolve的设置方法同样。比如：
options = optimoptions(\'\',\'\',\'\')
x = fzero(@fun,2,options )

roots函数

该函数用来求解多项式方程的根，roots能够返回多项式函数的全部根，比如，计算例如以下多项式方程的根：

fun=x3+2

用法例如以下：
roots([1 0 0 2])
这里的[1 0 0 -2]各自是x3、x2、x1、x0的系数，结果为：
-1.2599 + 0.0000i
0.6300 + 1.0911i
0.6300 - 1.0911i

root函数

该函数用来求解符号多项式方程的根，root能够返回符号多项式函数的全部符号根，比如，计算例如以下多项式方程的根：

fun=x3+2

用法例如以下：

syms x
p = x^3 + 2;
result = root(p,x)
% or result = root(x^3 + 2,x)

结果为：
result =
root(x^3 + 2, x, 1)
root(x^3 + 2, x, 2)
root(x^3 + 2, x, 3)

该结果是符号计算结果（即result是符号变量），假设仅仅是须要该结果作为中间过程。那么直接将result带入其它计算过程就可以，但假设须要该result的数值结果。那么能够使用vpa函数，详细地：
result_vpa = vpa(result)
结果例如以下：
result_vpa =
-1.2599210498948731647672106072782
0.62996052494743658238360530363911 + 1.0911236359717214035600726141898i
0.62996052494743658238360530363911 - 1.0911236359717214035600726141898i
这三个数值就是多项式方程fun=x3+2=0的三个根
能够看到。与roots的计算结果同样

方程求解函数小结

fsolve：计算非线性方程组的某个根（距离初始值较近的）
fzero：计算非线性方程的某个根（距离初始值较近那个）
roots:计算多项式方程的全部根
root：计算符号多项式方程的全部根

Matlab的函数曲线绘制

ezplot函数

绘制函数曲线explot(fun)
默认的显示区间是[-2pi, 2pi]
实际中，能够设置显示区间，利用explot(fun,[xmin,xmax])

  • 绘制’显示函数’曲线(y=x2)
    eg1： figure;explot(\'x^2\')
    结果例如以下：
    显示函数的绘制
    能够看到。因为没有指定曲线的x取值范围，所以是默认值[-6.28,6.28]
    eg2： figure;explot(\'x^2\',[-1,1])
    结果例如以下：
    显示函数的绘制
    能够看到。因为设定了区间[-1,1]。所以x轴仅仅在区间[-1,1]内显示

  • 绘制’显示函数’曲线(x2−y=0)
    eg1： figure;explot(\'x^2-y\')
    结果例如以下：
    显示函数的绘制
    能够看到，因为没有指定曲线的x取值范围，所以是x、y轴的默认值都是[-6.28,6.28]、[-6.28,6.28]
    eg2： figure;explot(\'x^2\',[-1,1,-1,1])
    结果例如以下：
    显示函数的绘制
    能够看到。因为设定了区间[-1,1,-1,1]，所以x轴、y轴在区间[-1,1,-1,1]内显示

  • 利用函数句柄
    首先。定义函数句柄
    fh = @(x,y) x.^2 + y.^3 - 2*y - 1;
    然后利用ezplot绘制该函数
    ezplot(fh)
    axis equal
    实验结果例如以下：
    显示函数的绘制
    增加区间限制后
    ezplot(fh[-10,10,-10,10])
    axis equal
    实验结果例如以下：
    显示函数的绘制
    能够看到，仅仅显示了区间[-10,10,-10,10]的图像