多元函数二阶偏导数的矩阵表示 - integral

时间:2024-02-23 19:39:42

多元函数二阶偏导数的矩阵表示

几天前,求解二维 Laplace 方程,为了方便,欲用坐标变换把直角坐标化为极坐标。花费了不小的力气才得到结果,所以就寻思把二阶偏导的内容整理一下,便得出此技巧。

 

发现过程大致如下,整理资料的时候,顺手尝试了这样一道题目:

解题过程就是普通的求导运算得到的结果是:

看着这么有规律的下标,不用说,各位一定想到了矩阵,而且是3阶方阵......
为了得到更一般的规律,必须用符号再一次的进行运算。对于多元复合函数 求其二阶偏导数:

  1. 一阶偏导数为:

  2. 进一步求二阶偏导数:

  3. 上面式子的结构很清晰,是一个完全二次型加上两个向量的积:




    也许这里想一下矩阵的运算法则和偏微分的法则,数学素养可能会稍有提升……

  4. 同理有:



    类似地,可以依次得出其他二次偏导的结果...

     

  5. 另外,值得一提的是,这种方法也适用于二中间变量,二自变量,甚至稍加修改便可以推广 到求n阶偏导... 例如, 和, 的二阶偏导数,都可以在片刻得到结果。

回到初始,把二维直角坐标的 Laplace 方程 化为极坐标:

  • 二维直角坐标 Laplace 方程 数学形式如下:


    值得注意的是,它的物理解释简单明了。表示热或者物质扩散在某种特殊的情况下处于稳定状态, 或者说变化相当小,可以看作与时间无关。

     

  • 根据二阶的二次偏导公式:
    • 对极角:
    • 对极径:
  • 根据坐标变换公式:

  • 可以求出以下结果:
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    •  

    •  

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  • 把4.的结果代入到2.:



  • (2)加上(1)除以r的平方:



  • 因为(在4.里第一个等式):



  • 根据:

结果已经得到,文章也该结束了……

本文是为了测试数学公式的输出问题所写,内容没有太多新意和思想,大家见谅!如果发现文中 错误,请一定要点击下面链接发邮件与我交流

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