进制转换

时间:2024-02-23 17:44:11

一、进制

  进制就是进位计数制,是人为定义的带进位的计数方法。

  对于任何一种进制—— X进制,就表示每一位置上的数运算时都是逢 X 进一位

  十进制就是逢十进一,二进制就是逢二进一,十六进制就是逢十六进一,以此类推。

二、进制转换

  进制转换是人们利用符号来计数的方法。进制转换由一组数码符号和两个基本因素“基数”和“位权”构成。

  基数:进制计数制中所采用的数码(数制中用来表示“量”的符号)的个数。

  位权:进位制中每一固定对应的单位值。

三、进制转换结构图

  所有数字在计算机底层都以二进制形式存在。

  对于整数,有四种表示方式:

二进制(binary):0,1 满二进一,以 0b 或0B 开头

十进制(decimal):0-9,满10进1

八进制(octal):0-7,满8进1,以数字 0 开头表示

十六进制(hex):0-9及 A-F,满16进1,以 0x或 0X 开头表示

  最常用的进制转换是二、八、十、十六进制之间的相互转换,下面是各个进制之间关系的结构图。

                                          

 

  下面对各个进制的转换进行详解。

四、进制转换算法

    在数字后面加上不同的字母来表示不同的进位制。

    B(Binary) 表示二进制,O(Octal) 表示八进制,D(Decimal) 或不加表示十进制,H(Hexadecimal) 表示十六进制。

    例如:(101011)B = (53)O = (43)D = (2B) H

  1、(二、八、十六进制) (十进制)

                                        

 

    (1)二进制 → 十进制

      方法:二进制数从低位到高位(即从右往左)计算,第0位的权值是2的0次方,第1位的权值是2的1次方,第2位的权值是2的2次方,依次递增下去,最后把各项的结果相加的值就是进制的值了。

      例如:将二进制的(101011)B 转换为十进制的步骤如下:

            1. 第0位: 1 × 2 = 1;

          2. 第1位: 1 × 2 = 2;

          3. 第2位: 0 x 22  = 0;

          4. 第3位: 1 x 23  = 8;

          5. 第4位: 0 x 24  = 0;

          6. 第5位: 1 x 25  = 32;

          7. 读数,把结果值相加:1+2+0+8+0+32=43,即(101011)B=(43)D。

 

    (2)八进制 → 十进制

      方法:八进制数从低位到高位(即从右往左)计算,第0位的权值是8的0次方,第1位的权值是8的1次方,第2位的权值是8的2次方,依次递增下去,把最后的结果相加的值就是十进制的值了。

      八进制就是逢8进1,八进制数采用 0~7这八数来表达一个数。

      例:将八进制的(53)O转换为十进制的步骤如下:

        1. 第0位 3 x 80  = 3;

        2. 第1位 5 x 81  = 40;

        3. 读数,把结果值相加,3+40=43,即(53)O=(43)D。

 

    (3)十六进制 → 十进制

      方法:十六进制数从低位到高位(即从右往左)计算,第0位的权值是16的0次方,第1位的权值是16的1次方,第2位的权值是16的2次方,依次递增下去,把最后的结果相加的值就是十进制的值了。

      十六进制就是逢16进1,十六进制的16个数为0123456789ABCDEF。

      例:将十六进制的(2B)H转换为十进制的步骤如下:

        1. 第0位 B x 160  = 11;

        2. 第1位 2 x 161  = 32;

        3. 读数,把结果值相加,11+32=43,即(2B)H=(43)D。

 

  2、(十进制) → (二、八、十六进制)

                                  

 

     (1)十进制 → 二进制

      方法:除2取余法,即每次将整数部分除以2,余数为该位权上的数,而商继续除以2,余数又为上一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为0为止,最后读数时候,从最后一个余数读起,一直到最前面的一个余数。 (口诀:除2倒取余

      例:将十进制的(43)D转换为二进制的步骤如下:

        1. 将商43除以2,商21余数为1;

        2. 将商21除以2,商10余数为1;

        3. 将商10除以2,商5余数为0;

        4. 将商5除以2,商2余数为1;

        5. 将商2除以2,商1余数为0; 

        6. 将商1除以2,商0余数为1; 

        7. 读数,因为最后一位是经过多次除以2才得到的,因此它是最高位,读数字从最后的余数向前读,101011,即(43)D=(101011)B。

                                           

     (2)十进制 → 八进制

 

      方法1除8取余法,即每次将整数部分除以8,余数为该位权上的数,而商继续除以8,余数又为上一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为0为止,最后读数时候,从最后一个余数起,一直到最前面的一个余数。

      例:将十进制的(796)D转换为八进制的步骤如下:

        1. 将商796除以8,商99余数为4;

        2. 将商99除以8,商12余数为3;

        3. 将商12除以8,商1余数为4;

        4. 将商1除以8,商0余数为1;

        5. 读数,因为最后一位是经过多次除以8才得到的,因此它是最高位,读数字从最后的余数向前读,1434,即(796)D=(1434)O。

            

       方法2:使用间接法,先将十进制转换成二进制,然后将二进制又转换成八进制;

                

 

     (3)十进制 → 十六进制

      方法1:除16取余法,即每次将整数部分除以16,余数为该位权上的数,而商继续除以16,余数又为上一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为0为止,最后读数时候,从最后一个余数起,一直到最前面的一个余数。

      例:将十进制的(796)D转换为十六进制的步骤如下:

        1. 将商796除以16,商49余数为12,对应十六进制的C;

        2. 将商49除以16,商3余数为1;

        3. 将商3除以16,商0余数为3;

        4. 读数,因为最后一位是经过多次除以16才得到的,因此它是最高位,读数字从最后的余数向前读,31C,即(796)D=(31C)H。

            

 

      方法2:使用间接法,先将十进制转换成二进制,然后将二进制又转换成十六进制;

            

  3、(二进制) ↔ (八、十六进制)

                

 

     (1)二进制 → 八进制

      方法:取三合一法,即从二进制的小数点为分界点,向左(向右)(整数向左,小数向右)每三位取成一位,接着将这三位二进制按权相加,然后,按顺序进行排列,小数点的位置不变,得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左(向右)取三位后,取到最高(最低)位时候,如果无法凑足三位,可以在小数点最左边(最右边),即整数的最高位(最低位)添0,凑足三位。

      例:将二进制的(11010111.0100111)B转换为八进制的步骤如下:

        1. 小数点前111 = 7;

        2. 010 = 2;

        3. 11补全为011,011 = 3;

        4. 小数点后010 = 2;

        5. 011 = 3;

        6. 1补全为100,100 = 4;

        7. 读数,读数从高位到低位,即(11010111.0100111)B=(327.234)O。

            

        二进制与八进制编码对应表:

二进制 000 001 010 011 100 101 110 111
八进制 0 1 2 3 4 5 6 7

 


     (2)
八进制 →  二进制

      方法:取一分三法,即将一位八进制数分解成三位二进制数,用三位二进制按权相加去凑这位八进制数,小数点位置照旧。

        例:将八进制的(327)O转换为二进制的步骤如下:

          1. 3 = 011;

          2. 2 = 010;

          3. 7 = 111;

          4. 读数,读数从高位到低位,011010111,即(327)O=(11010111)B。

            

     (3)二进制 → 十六进制

      方法:取四合一法,即从二进制的小数点为分界点,向左(向右)每四位取成一位,接着将这四位二进制按权相加,然后,按顺序进行排列,小数点的位置不变,得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左(向右)取四位后,取到最高(最低)位时候,如果无法凑足四位,可以在小数点最左边(最右边),即整数的最高位(最低位)添0,凑足四位。

      例:将二进制的(11010111)B转换为十六进制的步骤如下:

        1. 0111 = 7;

        2. 1101 = D;

        3. 读数,读数从高位到低位,即(11010111)B=(D7)H。

            

 

     (4)十六进制 → 二进制

      方法:取一分四法,即将一位十六进制数分解成四位二进制数,用四位二进制按权相加去凑这位十六进制数,小数点位置照旧。

      例:将十六进制的(D7)H转换为二进制的步骤如下:

        1. D = 1101;

        2. 7 = 0111;

        3. 读数,读数从高位到低位,即(D7)H=(11010111)B。

               

  4、(八进制) ↔ (十六进制)

           

 

     (1)八进制 → 十六进制

      方法:将八进制转换为二进制,然后再将二进制转换为十六进制,小数点位置不变。

        例:将八进制的(327)O转换为十六进制的步骤如下:

          1. 3 = 011;

          2. 2 = 010;

          3. 7 = 111;

          4. 0111 = 7;

          5. 1101 = D;

          6. 读数,读数从高位到低位,D7,即(327)O=(D7)H。

              

 

     (2)十六进制 → 八进制

      方法:将十六进制转换为二进制,然后再将二进制转换为八进制,小数点位置不变。

        例:将十六进制的(D7)H转换为八进制的步骤如下:

          1. 7 = 0111;

          2. D = 1101;

          3. 0111 = 7;

          4. 010 = 2;

          5. 011 = 3;

          6. 读数,读数从高位到低位,327,即(D7)H=(327)O。

              

五、扩展

  1、包含小数的进制换算

    (ABC.8C)H=10x16^2+11x16^1+12x16^0+8x16^-1+12x16^-2

    =2560+176+12+0.5+0.046875

    =(2748.546875)D

  2、负次幂的计算

    2^-5=2^(0-5)=2^0/2^5=1/2^5

    同底数幂相除,底数不变,指数相减,反过来

参考资料:进制转换