MATLAB学习笔记(二)——主要是MATLAB的矩阵知识

时间:2024-02-22 22:39:00

PS:主要是讲解矩阵的相应的实现方法,其实MATLAB的很大一部分的优势,就是集成了矩阵级别的运算,并以此为特点,可以进行多维空间上的验证。

       让我们懂得了原来线性代数如此有用= - =。

(一)MATLAB矩阵

一、矩阵的建立

1、直接输入法创建:

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       还可以有复数矩阵的建立,有两种方法:

    (1)直接按照直接输入法来建立矩阵,但是元素可以直接打成复数的形式(a+bj)

    (2)还有就是分别建立一个实部还有一个虚部的矩阵,然后通过(a+bj)就可以得到。

2、M文件建立矩阵

      就是把建立的矩阵存在一个文件里,下次直接调用就可以了。然后方法如下(下一篇日志会叙述)

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3、利用冒号表达式建立一个向量

(1)e1:e2:e3

    其中e1为初始值,e2为步长,e3为终止值(只取到小于或者等于终止值就可以了),

    如果e2省略,那么默认步长为1;

(2)lidspace(a,b,n)

    a,b是生成向量的第一个和最后一个元素,n是元素总数。

4、建立大矩阵(由方括号中的小矩阵或者向量组合起来)

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5、通过MATLAB集成的交互界面进行创建(最快)

(1)找到新建变量,并单击

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(2)然后就可以进行新建变量了

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        1处可以改变变量名字,2处可以进行矩阵的输入,3处可以查看矩阵在内存中是否保存,没有的话请按Ctrl+s。

二、矩阵的拆分

1、矩阵元素

(1)可以直接通过下标进行修改和访问,如果超过了原来矩阵的维度,会自动扩充,并且未填充的元素置为0。

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(2)矩阵元素是按照列来存储,先第一列然后第二列。然后下标和序号可以一一对应,然后由对应的sub2ind和ind2sub求得

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2、矩阵拆分

(1)用冒号表达式来获得子矩阵

a、a(  : ; j )表示取a矩阵的第j列的全部元素;同样的a(i;:)表示取a矩阵第i行的全部元素。也可以直接饮用对应下标取单独的元素。

b、里面可以嵌套冒号表达式,这样子就可以取出一个小的矩阵。例子如下

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c、end表示最后一个数。

(2)利用空矩阵删除矩阵的元素

clear是把变量从空间中删除,而[]则是赋值成一个空的矩阵。

同样可以使用引用,进行数组的置空

三、特殊矩阵

1、通用的特殊矩阵:

zeros 产生0的矩阵
ones 产生1的矩阵
eye 产生对角矩阵
rand 产生0~1间均匀分布的随机矩阵
randn 产生矩阵为0,方差为1的标准正态分布随机矩阵

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2、用于专门学科的特殊矩阵

(1)魔方矩阵(每行每列每对角线都相等)

           magic(n): 生成n阶的魔方阵。

(2)范德蒙德矩阵

(3)希尔伯特矩阵

           hilb(n)                n阶希尔伯特矩阵

           invhilb(n)          n阶希尔伯特的逆矩阵

(4)托普利兹矩阵

           toeplitz(x,y)

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(5)伴随矩阵

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(二)MATLAB运算

一、算术运算

1、基本算数运算

(1)加减

(2)乘法

(3)除法

(4)乘方

       这些运算主要都要服从矩阵的运算法则。维度不符合matlab会进行报错。

2、点运算

       格式是在正常的符号前面加上一个“.”就好了。

       运算的结果就是对矩阵中的每个元素相应的运算就好了,

二、关系运算

1、关系运算符:

< 小于
<= 小于等于
> 大于
>= 大于等于
== 等于
~= 不等于

2、运算法则:

(1)标量对标量:直接进行运算

(2)矩阵对矩阵:每个元素对应进行运算

(3)标量对矩阵:标量对每个元素进行运算

       最后是真的为“1”,假的为“0“。

PS:在这里记下一个求求余数的函数rem

三、逻辑运算

1、逻辑运算符。

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2、运算法则同上。

PS:运算符的优先级排序:算术>关系>逻辑

3、其他相应的一些逻辑函数(通过名字来记住功能)

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(三)矩阵分析

一、对角阵与三角阵

1、对角阵

(1)提取矩阵对角线上的元素:  diag(A), diag(A,k)

(2)构造对角阵:  diag(A)

       对每行每列进行相同乘数的运算,用对角阵相乘,左乘(对每行进行相乘),右乘(对每列进行相乘)

2、三角阵

(1)上三角阵

    triu(A):将A变成一个上三角矩阵(下半边为0)

    triu(A,k):将矩阵A的第k条对角线以上的元素

(2)下三角矩阵

    tril(A)

    tril(A,k)

二、矩阵的转置与旋转

1、矩阵的转置

(1)转置运算符是单撇号(’)

(2)作用就是求转置,但是请注意不是求逆矩阵。

2、矩阵的旋转

(1)运算符号:rot(A,k)

      就是将矩阵逆时针旋转k*90°的角度。如果单单旋转90°就可以直接省略k这个参数。

3、矩阵的左右翻转

(1)运算符号:fliplr(A)

4、矩阵的上下翻转

(1)运算符号:flipud(A)

三、矩阵的逆与伪逆

1、矩阵的逆

(1)定义:A·B=B·A=E,就称A和B互为逆矩阵。

(2)运算函数:inv(A)

(3)应用:可以用来求解线性方程组

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2、矩阵的违逆

(1)定义:我们知道在矩阵不是满秩的时候是没有逆矩阵的。但是可以找到一个与A的转置矩阵A`同型的矩阵B,使得满足矩阵的逆的定义。此时称矩阵B为矩阵A的违逆。

(2)运算函数:pinv(A)

四、矩阵的行列式

  运算函数:det(A)

五、矩阵的秩与迹

1、矩阵的秩

(1)定义:就是一个矩阵的行数和列数线性无关的数目

(2)运算函数:rank(A)

2、矩阵的迹

(1)定义:就是矩阵对角阵上的元素之和。

(2)运算函数:trace(A)

六、向量和矩阵的范数

1、定义:用来度量矩阵或者向量在某种意义下的长度。

2、向量的3种常用范数以及计算函数

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3、范数的三个性质:

(1)非负性

(2)齐次性

(3)满足施瓦茨不等式(a,b)<=(a,a)(b,b)

4、矩阵的范数及其计算函数

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运算函数同向量的。

七、矩阵的条件数

(1)定义:在求解线性方程组时,如果系数的微小改变会导致最终结果的很大改变,称系数矩阵为病态矩阵,而不会导致最终结果的很大改变的话,则是良性矩阵,然后条件数便是来衡量这一情况的一个参数。

                条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。这样的话,条件数总是大于1的,如果越接近于1的话,性能越好。

(2)函数为:

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八、矩阵的特征值与特殊矩阵

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(六)字符串

1、规则:

(1)用单引号括起来就是字符串。

(2)然后字符串可以写成一个矩阵,但是一个字母是一个元素,所以一定要保证矩阵的维数是正确的。

(3)如果字符串本身有单引号,就要加2个单引号。

(4)较长的字符串可以用字符串向量表示,及用[]括起来。

(八)稀疏矩阵

一、矩阵存储方式

1、完全储存方式:就是之前我们使用的方式

2、稀疏矩阵方式:image

二、稀疏储存方式的产生:

1、将完全储存方式转化为稀疏矩阵的方式

(1)A=sparse(S):将矩阵S转化为稀疏储存方式的矩阵A

(2)sparse的其他调用方式:

       sparse(m,n):生成一个m*n的所有元素都是0的稀疏矩阵

       sparse(u,v,S):u,v,S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏矩阵的非零元素,u,v是行列下标,然后S是相应的元素值。

(3)其他操作的方式:

      [u,v,s]=find(A):返回矩阵A中非零元素的下标和元素。

      full(A):返回和稀疏储存矩阵A对应的完全储存方式矩阵。

2、产生稀疏储存矩阵

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