点位精度评定

时间:2024-02-18 19:44:14

 

1点位精度评定    1

1.1 简介    1

1.2 期望    1

1.3 方差    2

1.4 标准差    2

1.5 协方差    2

1.6 DRMS    3

1.7 2DRMS    3

1.8 CEP    3

1.9 CEP95    3

1.10 CEP99    4

1.11 对比    4

1.12 SEP    4

1.13 误差椭圆    5

1.14 置信椭圆    5

1.15 误差椭球    6

1.16 求解误差椭球    7

1.17 置信椭球    9

 

 

1点位精度评定

1.1 简介

下图显示了一系列的散点。点位精度评定就是计算一些数值,用来评定这些点的离散程度。精度评定数值越小说明点的离散程度越小,精度越高。

1.2 期望

上图的圆心和椭圆中心,是散点的真实位置。假定其坐标为,那么就是随机变量的期望,就是随机变量的期望。

期望的数值,有可能是已知的,也可能是未知的。在未知的情况下,需要对期望进行估值。一般情况下,期望的估值采用的是算术平均值,即:

1.3 方差

方差用来描述随机变量的离散程度,它的数值越小说明离散度越低。

随机变量的方差:    

随机变量的方差:    

注意:如果随机变量的期望使用的是估计值,则方差的估值为。把改成的原因在于:求出后,的*度由变成了

1.4 标准差

标准差也叫中误差,它是方差的平方根,即:

随机变量的标准差:    

随机变量的标准差:    

1.5 协方差

随机变量之间的协方差:

同样的,如果期望使用的是估计值,则按下式计算

1.6 DRMS

离散随机变量的均方根RMSRoot Mean Square)为:

点位误差里的RMS其实是距离均方根差(DRMS),即:

代入上式,可得

1.7 2DRMS

双倍距离均方根的计算公式如下:

1.8 CEP

圆概率误差CEPCircular Error Probable)的含义:以为圆心,CEP为半径画一个圆,点落入圆内的概率为50%。其计算公式如下:

1.9 CEP95

CEP95(也被称之为R95)的含义:以为圆心,CEP95为半径画一个圆,点落入圆内的概率为95%。其计算公式如下:

1.10 CEP99

CEP99的含义:以为圆心,CEP99为半径画一个圆,点落入圆内的概率为99%。其计算公式如下:

1.11 对比

CEPCEP95CEP99之间是有严格的比例关系的;DRMS2DRMS之间也是有严格的比例关系的;那么CEPDRMS有什么关系呢?

假定,则:。此时

换句话说就是CEPDRMS之间有着近似的转换公式:

这几个统计量从小到大依次为:CEPDRMSCEP952DRMSCEP99

为圆心,各个统计量为半径,点落入这个圆的概率见下表:

统计量

CEP

50%

DRMS

63%~68% 

CEP95

95% 

2DRMS

95%~98% 

CEP99

99% 

1.12 SEP

SEP的含义:以为球心,SEP为半径画一个圆球,点落入球内的概率为50%。其计算公式如下:

1.13 误差椭圆

在二维平面内,点位沿着任意方向的方差按下式计算:

化简后可得:

上式中

注意:表示原点到的方位角。

时(取最大值

时(取最小值

这里就是误差椭圆的长半轴,就是误差椭圆的短半轴,是长半轴的方位角。

1.14 置信椭圆

长半轴为、短半轴为的椭圆被称之为标准误差椭圆。置信椭圆是标准误差椭圆的倍。

点落入置信椭圆内的概率为

代入上式可求出点落入标准误差椭圆内的概率为39.35%。也就是说置信度39.35%的置信椭圆就是标准误差椭圆。

1.15 误差椭球

在三维空间,点位沿着任意方向的方差按下式计算:

上式中的是随机变量的方差、协方差矩阵。

注意方向是单位向量,即满足

现在的问题是:何时最大?何时最小?它的实质就是在满足的条件下,求出的极值。

可根据拉格朗日乘数法求极值,其步骤为:

构造拉格朗日函数,然后求解如下方程组:

(即一个数对一个列向量求导),则。根据上式可知取极值时

满足是矩阵的特征值,而是与对应的特征向量。表示需要将特征向量单位化。

求出矩阵的特征值和特征向量后,矩阵可被对角化,即:

上式中是由特征值组成的对角阵,即

矩阵的第列是对应的单位特征向量。此时:

,它的几何意义为:对向量做正交变换,得到向量,此时:

这里就是误差椭球的三个半轴,从大到小依次为长半轴、中半轴、短半轴。这三个半轴的方向就是特征向量的方向,它们是相互垂直的。

以椭球的三个半轴分别为轴建立一个新的三维直角坐标系,坐标系的正交变换矩阵就是

1.16 求解误差椭球

本节将求解矩阵的特征值、特征向量

注意上式中:

展开后可以得到一个一元三次方程:,其中

可以去除这个一元三次方程的二次项,如下式所示:

其中

一元三次方程的三个根为:

上式中

这三个根就是矩阵的特征值。因为是正定的,所以这三个特征值必定都是大于零的实数。

下面是矩阵的伴随矩阵:

代入上式,每一列就是对应的一个特征向量,请选用长度最大的特征向量并将其单位化。

注意:按上述方法求出的特征向量有可能为零,此时至少有两个特征值是相等的。换句话说就是上述求解特征向量的算法要求三个特征值均不相等。

1.17 置信椭球

三个半轴为的椭球是标准误差椭球,置信椭圆是标准误差椭圆的倍。

点落入置信椭球内的概率为

代入上式可求出点落入标准误差椭球内的概率为19.87%。也就是说置信度19.87%的置信椭球就是标准误差椭球。