非负矩阵分解(4):NMF算法和聚类算法的联系与区别

时间:2024-02-16 22:14:14

作者:桂。

时间:2017-04-14   06:22:26

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前言

之前梳理了一下非负矩阵分解(Nonnegative matrix factorization, NMF),主要有:

  1)准则函数及KL散度

  2)NMF算法推导与实现

  3)拉格朗日乘子法求解NMF(将含限定NMF的求解 一般化)

谱聚类可以参考之前的文章:

  1)拉普拉斯矩阵(Laplace Matrix)与瑞利熵(Rayleigh quotient)

  2)谱聚类(Spectral clustering)(1):RatioCut

  3)谱聚类(Spectral clustering)(2):NCut

总感觉NMF跟聚类有联系,这里试着从聚类角度分析一下非负矩阵分解,主要包括:

  1)Kmeans与谱聚类

  2)对称非负矩阵分解(symmetric NMF,SyNMF);

  3)非对称非负矩阵分解;

内容为自己的学习总结,如果有不对的地方,还请帮忙指出。文中多有借鉴他人的地方,最后一并给出链接。

 

一、Kmeans与谱聚类

  A-Kmeans定义

,准则函数为:

可以重写为:

定义h:

$n_k$为第k类样本的个数,则准则函数变为:

从而Kmeans的优化问题,等价于:

  B-Kmeans与谱聚类(Spectral clustering)的联系

上文给出了h的定义:

回顾谱聚类中RatioCut定义h的思路:

 

回顾RatioCut求解问题:

可以看出求解的思路完全一致,不同的是RatioCut是拉普拉斯矩阵L,而Kmeans是矩阵$X^TX$。正因为这点不同,Kmeans在利用谱聚类的思路求解时,略有差别。利用Kmeans的思想求Kmeans,听着这不是欠揍吗? 这里只是为了分析谱聚类一般方法(L)与谱聚类对应的Kmeans($X^TX$)二者的不同。

再次写出RatioCut的步骤:

步骤一:求解拉普拉斯矩阵L

步骤二:对L进行特征值分解,并取K个最小特征值对应的特征向量(K为类别数目)

步骤三:将求解的K个特征向量(并分别归一化),构成新的矩阵,对该矩阵进行kmeans处理

kmeans得到的类别标签,就是原数据的类别标签,至此完成RatioCut聚类。

对应Kmeans呢?是不是把$X^TX$换成L就等价于对原数据Kmeans?

步骤一:求解$X^TX$

步骤二:对$X^TX$进行特征值分解,并取K个最大特征值对应的特征向量(K为类别数目)

步骤三:将求解的K个特征向量(并分别归一化),构成新的矩阵,对该矩阵进行kmeans处理

kmeans得到的类别标签,就是原数据的类别标签,至此完成RatioCut聚类。

对应测试code:

L = X\'*X;% matrix
%%Step2:Eigenvalues decomposition
K = 3;
[Qini,V] = eig(L);
%%Step3:New matrix Q
[~,pos] = sort(diag(V),\'ascend\');
Q = Qini(:,pos(1:K));
Q = Q./repmat(sqrt(diag(Q\'*Q)\'),N,1);
[idx,ctrs] = kmeans(Q,K);

我们可以利用数据测试一下:

再来看看直接对原数据Kmeans的结果:

利用谱聚类的思想求解,得出了错误的分类结果,而直接Kmeans效果是理想的。

原因何在?问题就出在矩阵L上。回顾之前提到的拉普拉斯矩阵L特性:

它表示的是不同数据点特征的差距,而$X^TX$呢?

更像是一种余弦距离的测度,普通的Kmeans自然不能很好解决聚类。其实对$X^TX$利用谱聚类,特征向量子空间是严谨的,以三类为例,将特征子空间投影到二维,如下图中间所示,很容易看出子空间特征是分成三类的,但聚类之后呢?如右图所示,就出现了判别错误。这也是为什么上面两种结果不一致。

总而言之:Kmeans是与谱聚类的思想一致,但由于中间矩阵不同,二者思路略有差异。

   C-Kernel Kmeans与谱聚类

这里就再啰嗦一下,数据分类效果不理想,映射到高维呢?也就是核函数(Kernel function)的思想。

重新写出谱聚类框架下的Kmeans:

对X进行映射:,得出核函数下的Kmeans(Kernel Kmeans)

重新给出code(以kernel 取gaussian为例):

%Kmeans
sigma2 = .02;
L = exp(-dist(X,X\').^2*sigma2);
[Qini,V] = eig(L);
%%Step3:New matrix Q
[~,pos] = sort(diag(V),\'descend\');
Q = Qini(:,pos(1:K));
for i =1:K
    Q(:,i) = Q(:,i)-min(Q(:,i));
end
Q = Q./repmat(sqrt(diag(Q\'*Q)\'),K*N,1);
[idx,ctrs] = kmeans(Q,K);

  对应分类结果:

这个时候分类就理想了。

 

二、对称非负矩阵分解(SyNMF)

  A-原理介绍

Kmeans与RatioCut的理论框架是统一的,其实准则函数等价为:

现在将$H^TH = I$的约束去掉,泛化后的求解问题为:

这就是对称非负矩阵分解(SyNMF)的思路。

  B-算法求解

求解思路还是利用拉格朗日乘子+KKT,不再细说,给出结果:

 泛化后:

得到H之后,如何实现数据的label判别?

可以看出得到的H分为三类,对应三种label, 即可实现数据分离。

给出SymNMF与谱聚类的对比:

对应的code可以点击这里

给出一个测试结果图,测试数据为三类:

 

三、非对称非负矩阵分解

SymNMF是Spectral clustering的泛化推广。

上文分析的是对称的谱聚类问题:

  • Spectral clustering

  • SymNMF

同样的方式,分析非对称的谱聚类问题:

  •  Spectral clustering

该问题可以转化为:

同样的,对于:

进行泛化:

这就是NMF的准则函数,即:

  • NMF

 现在来总结一下:

关系是不是一目了然了?如何添加更多约束项呢?比如希望H矩阵尽可能系数等等,就在上面这几类问题的准则函数后添加约束,转化成对偶问题求解即可。

 

题外话

  A-非负矩阵NMF实现数据聚类

分析了这么多,已经解开了之前的困惑:谱聚类与NMF之间的联系

回顾上面分析Kmeans提到的三类数据聚类问题,对$XX^T$进行NMF处理:

更直观地,将数据放在对应维度观察:

可以看到,由于矩阵对称,即figure对称,对W/H聚类,都可以得到三类标签,从而实现数据的聚类。对于非对称呢?自然想到:如果W对应样本数量维度,则对W进行聚类,如果H对应样本数量维度,就对H进行聚类,同样可以实现数据聚类

给出一个利用(Kernel kmeans)聚类以及利用NMF聚类的对比示例。

利用$X^TX$是kmeans的思路,利用$L$是RatioCut思路,事实上,泛化之后,直接利用$X^TX$也可以利用是NMF的思路。

  

clc;clear all;close all;
N = 100;
K = 3;
X = [randn(N,2)+ones(N,2);...
    randn(N,2)+3*ones(N,2);...
    randn(N,2)-4*ones(N,2)];
posran = randperm(K*N);
X = X-min(min(X));
X = X(posran,:);

%%方法一 基于Data: 利用 XX\'  + 核心函数
sigma2 = 0.02;
L = exp(-dist(X,X\')*sigma2);
%%Step2:Eigenvalues decomposition
[Qini,V] = eig(L);
%%Step3:New matrix Q
[~,pos] = sort(diag(V),\'descend\');
Q = Qini(:,pos(1:K));
for i =1:K
    Q(:,i) = Q(:,i)-min(Q(:,i));
end
Q = Q./repmat(sqrt(diag(Q\'*Q)\'),K*N,1);
[idx,ctrs] = kmeans(Q,K);
figure 
subplot 221
plot(X(:,1),X(:,2),\'.\');
title(\'原数据\');grid on;
subplot 222
plot3(Q(:,1),Q(:,2),Q(:,3),\'b.\');
title(\'特征\');grid on;
subplot  223
plot3(Q(idx==1,1),Q(idx==1,2),Q(idx==1,3),\'b.\');hold on;
plot3(Q(idx==2,1),Q(idx==2,2),Q(idx==2,3),\'r.\');hold on;
plot3(Q(idx==3,1),Q(idx==3,2),Q(idx==3,3),\'g.\');hold on;
title(\'特征聚类\');grid on;
subplot 224
plot(X(idx==1,1),X(idx==1,2),\'b.\');hold on;
plot(X(idx==2,1),X(idx==2,2),\'r.\');hold on;
plot(X(idx==3,1),X(idx==3,2),\'g.\');hold on;
title(\'聚类结果\');grid on;
%%方法2 基于NMF: 对X*X\'聚类
%即NMF
Iter = 500;
K = 3;
[W,H] = nmf(X*X\',K,Iter);
[idx,ctrs] = kmeans(W,K,\'distance\',\'cityblock\');
figure 
subplot 221
plot(X(:,1),X(:,2),\'.\');
title(\'原数据\');grid on;
subplot 222
plot3(W(:,1),W(:,2),W(:,3),\'b.\');
title(\'W矩阵\');grid on;
subplot  223
plot3(W(idx==1,1),W(idx==1,2),W(idx==1,3),\'b.\');hold on;
plot3(W(idx==2,1),W(idx==2,2),W(idx==2,3),\'r.\');hold on;
plot3(W(idx==3,1),W(idx==3,2),W(idx==3,3),\'g.\');hold on;
title(\'W矩阵聚类\');grid on;
subplot 224
plot(X(idx==1,1),X(idx==1,2),\'b.\');hold on;
plot(X(idx==2,1),X(idx==2,2),\'r.\');hold on;
plot(X(idx==3,1),X(idx==3,2),\'g.\');hold on;
title(\'聚类结果\');grid on;

  这里的代码只是为了说明理论问题,代码本身不足以支持应用。给出对应结果图:

基于$X^TX$的Kmeans:

 

基于$X^TX$的NMF:

 

事实上,直接对$X$进行NMF聚类,只要将$X^TX$替换为$X$即可,对应结果图:

这里可以理解为:H是对应的字典信息,W是线性变换。

  B-图的聚类(不再是数据的聚类)

上文分析的是对数据点进行分类,如果直接对邻接矩阵、拉普拉斯矩阵,也就是图片信息进行分类呢?(可能有点绕,但数据点聚类,并不代表图就是聚类,图明显可以聚类,对应的数据点也未必可以聚类)。

图对应的矩阵,如拉普拉斯矩阵、邻接矩阵等等,说到底都是figure的表达,如上图所示,因此上文分析的矩阵W/B,可以用图片的信息替代。

对于图的聚类,一种思路是将图中像素点读取,转化成数据格式,再进行聚类。

Data角度就是前面分析的种种类型,Figure角度呢?

给出NMF对图片的处理结果(分四类):

对应code:

img = imread(\'2.png\');
V = 1-im2bw(rgb2gray(img));
figure
K = 4;
Iter = 500;
[W,H] = nmf(V, K, Iter);
subplot 331
mesh(V);
title(\'原数据\')

for i =1:K
    subplot(3,3,i+1);
    mesh(W(:,i)*H(i,:));
    title([\'分解\',num2str(i)])
end

NMF对于Figure是一种线性表达的思路,可以分离的基础是数据不共线(横/纵),再给出之前音乐分离的语谱图:

之所以可以分离正是因为音乐频谱的周期性,所以对于非周期的说话人,直接应用NMF应该是无效的,对应的时域波形:

 

参考:

  • On the Equivalence of Nonnegative Matrix Factorization and Spectral Clustering
  • Symmetric Nonnegative Matrix Factorization for Graph Clustering