曲线积分计算

时间:2024-02-01 07:15:57

一、曲线积分计算

(一)一型曲线积分

(1)直角坐标法

因为积分是在曲线上进行的,故可以将曲线方程带入,转化成对x定积分。定限:x的最大到最小值。

可将积分区域代入积分函数的:曲线积分、曲面积分,重积分不能带入。

(2)参数方程法

对于平面曲线L上的积分:将x,y,ds用t表示。注意:t的定界从小到大,大-小

对于空间曲线L上的积分:将x,y,z,ds用t表示(怎么表示,...看书)。注意:t的定界从小到大,大-小

(3)极坐标法

将x,y,ds用极坐标表示。定限:从小到大,大角-小角

(4)奇偶性

一般先看积分区间,看是否通过奇偶性先消去积分等于0的项(比如对于x的奇函数,且积分曲线关于yoz对称:积分曲线在yoz前后一致,这个积分就等于零)。

(5)对称性

看积分曲线,将x和y对调后若积分曲线不变,那么积分函数也可以将x和y对调。举个例子:求对X^2的积分,积分曲线是一个圆心在原点半径为a的上半圆

因为对x^2 和对y^2的积分相等,可以先计算对x^2+y^2的积分,最后/2就行了。这样变换的目的是简化计算。

(二)二型曲线积分

(1)直接计算法——参数方程

将x,y,dx,dy用参数t表示。

注意:t的定限:终点-起点,这和一型曲线积分是不同的!!!

(2)格林公式法

 

 

对于封闭曲线用格林公式,书上逆时针为正方向

(3)补线后用格林公式、变换路径

记得减去新添加的线,若与积分路径-无关(判定方式,,...)可以将曲线变成直线简化计算。

注意曲线方向与积分正负密切相关,补的线的积分看好方向

二型线积分没有提到奇偶性与对称性,不要瞎用。

(三)方法选择