阐述信号与系统中三大变换(即傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换)的关系

时间:2022-04-23 23:17:04
傅立叶变换是最基本得变换,由傅里叶级数推导出。傅立叶级数只适用于 周期信号,把非 周期信号看成周期T趋于无穷的 周期信号,就推导出傅里叶变换,能很好的处理非周期信号的频谱。但是傅立叶变换的弱点是必须原信号必须绝对可积,因此适用范围不广。

拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广,傅立叶变换不适用于指数级增长的函数,而拉氏变换相当于是带有一个指数收敛因子的傅立叶变换,把频域推广到复频域,能分析的信号更广。然而缺点是从拉普拉斯变换的式子中,只能看到变量s,没有频率f的概念,要看 幅频响应和相频响应,还得令s=j2πf

Z变换的本质是离散时间傅里叶变换(DTFT),如果说拉普拉斯变换专门分析模拟信号,那Z变换就是专门分析数字信号,Z变换可以把 离散卷积变成多项式乘法,对离散数字系统能发挥很好的作用。Z变换看系统频率响应,就是令Z在复频域的单位圆上跑一圈,即Z=e^(j2πf),即可得到频率响应。由于傅里叶变换的特性“时域离散,则频域周期”,因此 离散信号的频谱必定是周期的,就是以这个单位圆为周期,Z在单位圆上不停的绕圈,就是周期重复。单位圆0°位置是实际频率0HZ,单位圆180度的实际频率就是 采样频率的一般,fs/2.