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F(x) = 1 (0 <= x < 4)
F(x) = F(x - 1) + F(x - pi) (4 <= x)
Pi = 3.1415926535.....
现在给出一个N，求F(N)。由于结果巨大，只输出Mod 10^9 + 7的结果即可。
Input
输入一个整数N(1 <= N <= 10^6)
Output
输出F(N) Mod 10^9 + 7
Input示例
5
Output示例
3
数学问题 递推 组合数
实数下标的递推，甚至不能记忆化（吧？），递归显然不可取。
可以先考虑一般的情况。
比如Fibonacci数列的递推式是 $ F[n]=F[n-1]+F[n-2] $
众所周知，它的组合数意义可以解释为任选走一级或走两级，从0级上到n级台阶的方案数。（然而蒟蒻博主就不知道）
由此得出F[n]的另一个计算方式是枚举走两级走了i次，然后 $F[n]=\sum_{i=0}^{n/2} C(n-2i+i,i) $
这个算法可以推广到一般的递推式。
那么在本题中，可以类似地枚举走1和走pi的次数，累计从0走到大于n-4的位置的方案数。
由于枚举走1或枚举走pi时，另一个走法的次数上限不同（第一次到达>n-4的位置时，到达的具体位置不同），所以要分类讨论。
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const double pi=acos(-1.0);
const int mxn=;
const int mod=1e9+;
int read(){
int x=,f=;char ch=getchar();
while(ch<'' || ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(ch>='' && ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
return x*f;
}
int ksm(int a,int k){
int res=;
while(k){
if(k&)res=(LL)res*a%mod;
a=(LL)a*a%mod;
k>>=;
}
return res;
}
int fac[mxn],inv[mxn];
void init(int ed){
fac[]=fac[]=;inv[]=inv[]=;
for(int i=;i<=ed;i++)
fac[i]=(LL)fac[i-]*i%mod;
inv[ed]=ksm(fac[ed],mod-);
for(int i=ed-;i;i--)
inv[i]=(LL)inv[i+]*(i+)%mod;
return;
}
inline int C(int n,int m){
if(n<m)return ;
return (LL)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int n;
int ans=;
int main(){
int i,j;
n=read();
if(n<){
printf("1\n");return ;
}
init(n);
for(i=;i<=n-;i++){//
int tmp=(int)(((double)n--i)/pi);
// printf("i:%d tmp:%d %d\n",i,tmp,C(tmp+i,i));
(ans+=C(tmp+i,i))%=mod;
}
for(i=;i*pi<=n-;i++){//pi
int tmp=(int)(n--i*pi);
// printf("i:%d tmp:%d %d\n",i,tmp,C(tmp+i,i));
(ans+=C(tmp+i,i))%=mod;
}
printf("%d\n",ans);
return ;
}