§1基本原理
△让我们来看下面问题：
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同走法？
△分析：因为从甲地到乙地，乘火车有4种选择（方法），乘汽车有2种选择（方法），乘轮船有3种选择（方法）。因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有：4＋2＋3 = 9种不同的方法。
▲一般地，做一件事，完成它可以有n类方法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，
那么完成这件事共有：N = m1＋m2＋…＋m n种不同的方法。
一、加法原理：
△再看这样一个例子：
由A村去Ｂ村的道路有３条，由Ｂ村去Ｃ村的道路有２条（如下图所示）。从Ａ村经Ｂ村去Ｃ村，共有多少种不同的走法？
△分析：从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法。因此，从A村经B村去C村共有：3×2 = 6种不同的走法。
▲一般地，做一件事，完成它需要分成n个步骤，做完第一步有m1种不同的方法，做完第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法。
那么，完成这件事共有：N = m1×m2×…×m n种不同的方法。
二、乘法原理：
〖举例〗
1． 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书。
⑴从中任取一本，有多少种不同的取法？
⑵从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？
解：⑴分析：从书架上任取一本书，有两类情况：第1类情况是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第2类情况是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法。
根据加法原理，得到不同的取法的种数是： N = 6＋5 = 11
⑵分析：从书架中任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤：第1步取一本数学书，有6种方法；第2步取一本语文书，有5种方法。
根据乘法原理，得到不同的取法的种数是：N = 6×5 = 30
2． 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？
解：分析：要组成一个三位数可以分成三个步骤：
根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是：N = 5×5×5 = 5 3 = 125
▲不难发现，加法原理的要点是一个“类”字，乘法原理的要点是一个“步”字，即分“类”时用加法原理；分“步”时用乘法原理棗分清“类”与“步”是正确解题的关键。
△练习：
1．在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？
2．乘积（a1＋a2＋a3）（b1＋b2＋b3＋b4）（c1＋c2＋c3＋c4＋c5）展开后共有多少项？
3．如下图所示，从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走。
⑴从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？
⑵从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
§2排列
△让我们来看下面这个例子：
巧用“捆绑”、“插空”、“分组”法解决排列组合题目
在求解排列组合问题时，经常遇到有关几个元素必须相邻、几个元素互不相邻、将ｎ个元素分成ｍ组的问题。现将此类问题的解法通过例题介绍如下。
例１ 由数字１、２、３、４、５、６、７组成无重复数字的七位数。(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数。
解 (1)：因为三个偶数２、４、６必须相邻，所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如下三步：第一步将１、３、５、７四个数字排好有P(4,4)种不同的排法；
第二步将２、４、６三个数字“捆绑”在一起有P(3,3) 种不同的“捆绑”方法; 第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有P(1,5)种不同的“插入”方法。根据乘法原理共有P(4,4)*P(3,3)*P(5,1)=720种不同的排法。所以共有720个符合条件的七位数。
解（2）：因为三个偶数２、４、６ 互不相邻，所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步：第一步将１、３、５、７四个数字排好，有P(4,4) 种不同的排法；
第二步将２、４、６分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”（包括两端的两个位置）中的三个位置上，有P(3,5) 种“插入”方法。根据乘法原理共有P(4,4)*P(3,5)＝1440种不同的排法。所以共有1440个符合条件的七位数。
例２ 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？
解：要将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，可以分为三类办法：（１－１－４）分法、（１－２－３）分法、（２－２－２）分法。下面分别计算每一类的方法数：
第一类（１－１－４）分法，这是一类整体不等*部等分的问题，可以采用两种解法。解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的两个元素各作为一个组，有C(4,6)种不同的分法。
解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一个组有C(1,6) 种选法，再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有C(1,5) 种选法，最后余下的四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分，产生了重复计算，应除以P(2,2)。所以共有C(1,6)*C(1,5)/P(2,2) ＝15种不同的分组方法。
第二类（１－２－３）分法，这是一类整体和局部均不等分的问题，首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有C(1,6) 种不同的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有C(2,5) 种不同的选法，余下的最后三个元素自然作为一个组，根据乘法原理共有C(1,6)*C(2,5)＝60种不同的分组方法。
第三类（２－２－２）分法，这是一类整体“等分”的问题，首先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有C(2,6) 种不同的取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有C(2,4)种不同的取法，最后余下的两个元素自然作为一个组。由于三组等分存在先后选取的不同的顺序，所以应除以P(3,3) ，因此共有C(2,6)*C(2,4)/P(3,3) ＝15种不同的分组方法。
根据加法原理，将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六个元素分成三组共有：15＋60＋15＝90种不同的方法。
例３ 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？
解：九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有P(6,6)种不同的坐法，再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有C(3,5)种不同的“插入”方法。根据乘法原理共有P(6,6)*C(3,5)＝7200种不同的坐法。
小结：（１）ｍ个不同的元素必须相邻，有P(m,m) 种“捆绑”方法。
（２）ｍ个不同元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置有 P(m,n)种不同的“插入”方法。
（３）ｍ个相同的元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置，有C(m,n)种不同的“插入”方法。
（４）若干个不同的元素“等分”为 ｍ个组,要将选取出每一个组的组合数的乘积除以P(m,m)。
希望这篇博文对您有所帮助！！