BestCoder 1st Anniversary ——HDU5312（数学推导）

Today, Soda has learned a sequence whose n-th (n≥1) item is 3n(n−1)+1. Now he wants to know if an integer m can be represented as the sum of some items of that sequence. If possible, what are the minimum items needed?

For example, 22=19+1+1+1=7+7+7+1.

Input

There are multiple test cases. The first line of input contains an integer T (1≤T≤104),
indicating the number of test cases. For each test case:

There's a line containing an integer m (1≤m≤109).

Output

For each test case, output −1 if m cannot
be represented as the sum of some items of that sequence, otherwise output the minimum items needed.

Sample Input

10
1
2
3
4
5
6
7
8
22
10

Sample Output

1
2
3
4
5
6
1
2
4
4

Source

BestCoder 1st Anniversary ($)

题意：t组数据，每组数据给个m，问m最少能由几项形如3*n*(n-1)+1的数表示

eg 7=1(n=1)+1(n=1)+1(n=1)+1(n=1)+1(n=1)+1(n=1)+1(n=1);

7=7(n=2);

所以7最少能由1个数表示

分析：3*n*(n-1)+1可以转换为6*(n*(n-1)/2)+1,而n*(n-1)/2是一个三角形数，设为An，

则m可以表示为m=6*(A1+A2+…+Ak)+k(假设m最少能由k个数表示)看，由三角形数的性质(一个自然数最多能由三个三角形数表示)可得,

当k>=3时，A1+…+Ak可以表示任意自然数，此时k=(m-1)%6+1+6*n(n=0,1,2,…)（A1+A2+…Ak是自然数）此时最小值k取n=0，即k=(m-1)%6+1(k>=3).

另外，如果当n=0时k的值为1或者2，此时需要考虑是否存在一个或者两个三角形数能表示出该数m，如果可以，则k的最小值即为1或者2，如果不可以，则取n=1，k+=6；

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 1e6+5;
map<int,int>Map;
int v[maxn];
int main()
{
    int t;
    for(int i=1;i<=100000;i++){ //预处理
        int tmp=3*i*(i-1)+1;
        if(tmp>1e9) break;
        v[i]=tmp;
        Map[tmp]=1;             //用于后面查看此数是否能够由3*n*(n-1)+1表示
    }
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        int k=(n-1)%6+1;        //(n-1)%6+1==n%6=0?6:n%6,两种写法都可以
        if(k>=3){               //k>=3,此时一定存在自然数能由A1+…Ak的数表示
            printf("%d\n",k);
        }
        else if(k==1){          //k==1 检验n是否能由该式子表示
            if(Map.count(n)) printf("1\n");
            else printf("7\n");
        }
        else if(k==2){          //k==2，检验n是否能由两个该式子的数表示
            int flag=0;
            for(int i=1;v[i]<=n/2;i++){
                if(Map.count(n-v[i])) flag=1;
            }
            if(flag) printf("2\n");
            else printf("8\n");
        }
    }
}