数学3（博弈+splya）

数学3（博弈+splya）

标签： 数学

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hdu_5194 (打表找规律)

• 题意

有n和黑球和m个白球，现在一个个的取出这些球，如果是黑球则当前标记为1，白球为0，那么当取完这些球会得到一些序列。问你在所有的序列中出现01这个子序列的期望

• 题解

首先要掌握一种技能就是可以通过打表找规律的方式解题，因为真的有很多的题都是这么解出来的。打表有一个很好的习惯

如果用手打表的话，最好列出一个n*m的表格，将对应的n和m的值填入对应的格子，这样最后比较容易可以看出规律这个题就是打表做的，规律是什么直接看代码吧

• 代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int gcd(int a, int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        int fm = n+m;
        int fz = n*m;
        int tm = gcd(fz,fm);
        printf("%d/%d\n",fz/tm,fm/tm);
    }
    return 0;
}

hdu_5366 (dp)

• 题意

要在一个1~N的区间里，放置一种东西，每个东西占据一个单位区间，要求两个东西之间的距离大于等于2，问你有几种放法

• 题解

这个是一个很典型的dp问题

dp[i] 表示放置到第i个位置的时候的放置种类数

那么有第i个位置可以放一个，其他的位置都不放，那么多出这个位置就多出了一种情况，还有就是如果这一位不放那么就是dp[i-1]，如果放的话，就是dp[i-3]+1;

\(dp[i] = dp[i-1]+1+dp[i-3]\)

很简单吧，做题的时候相信自己可以做出来就可以肆意ac了

• 代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
ll dp[66];
void init()
{
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    dp[3] = 3;
    for(int i = 4; i < 66 ; i++)
    {
        dp[i] = dp[i-1]+1+dp[i-3];
    }
}
int main()
{
    int n;
    init();
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%lld\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}

好了，下面要开始学习一下博弈了

注意，博弈的核心是sg还有打表，模拟找规律

hdu_3951 一个简单的博弈

• 题意

有一圈数字收尾相连，你可以拿编号相连的数字，注意，头尾的数字也可以看成是相连的。每次只能拿1~k的个数个数字，最后不能拿得输掉

• 题解

其实有很多的博弈都是根据对称性，你可以考虑一下，这个题，首先，如果\(k>n\)的时候就可以第一个人都取完，那么第二个人输掉了

再考虑到如果k = 1的话，直接根据n的奇偶判断就可以了

然后如果n是偶数的话, 第一个人不能取完，那么考虑，如过第一个人拿了超过一半的话，第二个人肯定可以一次性把剩下的都拿走，所以第二个人赢。如果不拿走一半，那么第二个人永远可以模仿着第一个人，在对称的位置上再拿取相同数目的数字，所以仍然是2赢

考虑n是奇数，相同的分析方式可以得出结论就是2赢

• 代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    int cnt = 1;
    while(T--)
    {
        int n,k;
        scanf("%d%d",&n,&k);
        printf("Case %d: ",cnt++);
        if(k>=n) puts("first");
        else if(k==1){
            if(n%2==1) puts("first");
            else puts("second");
        }
        else puts("second");
    }
    return 0;
}

hdu_1847 sg

• 题解

介绍一下sg函数：

定义： 一个状态的sg是它所有的后继状态的所有sg中第一个没有出现的非负整数。

用法： sg函数为0可以指示一个状态，不为0为一个状态，所有石子堆的sg的异或值等于整个石子堆的异或值。

求法：递归的求就可以了，对于有n堆石子，每次拿取的个数有一定的个数，直接用模板就可以。

sg在比赛的时候还可以打表找规律哈哈。这点很重要

• 代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 1008;
int sg[N];
int s[11];
int Getsg(int n,int k)
{
    int mex[1008];
    memset(mex,0,sizeof(mex));
    if(sg[n]!=-1) return sg[n];
    for(int i = 0; i < k && n-s[i]>=0; i++){
        mex[Getsg(n-s[i],k)] = 1;
    }
    for(int i = 0; ; i++){
        if(!mex[i]){
            return sg[n] = i;
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    memset(sg,-1,sizeof(sg));
    sg[0] = 0;
    for(int i = 0; i < 11; i++){
        s[i] = pow(2.0,(double)i);
    }
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(Getsg(n,11)!=0) puts("Kiki");
        else puts("Cici");
    }
    return 0;
}

hdu_1536 sg

• 题意 题解
  
  戳这里

• 代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int s[108];
int h[108];
int sg[10008];
int Getsg(int n,int k)
{
    int mex[108];//注意一定要写在里面。请仔细思考为什么这么做。
    memset(mex,0,sizeof(mex));
    if(sg[n]!=-1) return sg[n];//因为集合s一致，则每个数量的mex一样，可以重复利用
    if(n-s[0]<0) return sg[n] = 0;//s[0]为集合中最小值，n-s[0]<0,则n不可能到达其他状态，一定为P
    for(int i = 0; i < k && n-s[i]>=0; i++){
        mex[Getsg(n-s[i],k)] = 1;//n的后继SG函数中的没有出现的最小非负数
    }
    for(int i = 0; ; i++){
        if(!mex[i]){
           //printf("i = %d\n",i);
            return sg[n] = i;
        }
    }
}
int main()
{
    int k;
    while(~scanf("%d",&k),k)
    {
        memset(sg,-1,sizeof(sg));
        sg[0] = 0;
        for(int i = 0; i < k; i++){
            scanf("%d",&s[i]);
        }
        sort(s,s+k);
        int m;
        scanf("%d",&m);
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            int t;
            scanf("%d",&t);
            int fl = 0;
            for(int j = 0; j < t; j++){
                scanf("%d",&h[j]);
                fl = fl ^ Getsg(h[j],k);
            }
            if(fl==0) printf("L");
            else printf("W");
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}
//http://blog.****.net/liwen_7/article/details/7943258

hdu_2516 斐波那契博弈

• 题解

斐波那契博弈的固定描述

有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完；

2)之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。

约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

如果当前的数是斐波那契数列中的一个数的话，为一种状态，不是为另一种状态

• 代码

//斐波那契博弈
//http://blog.****.net/acm_cxlove/article/details/7835016
//一般斐波那契数列求到第45个就够了
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 45;
#define ll long long

ll f[N];
void init()
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    f[0] = 1;
    f[1] = 2;
    for(int i = 2; i <= 45; i++){
        f[i] = f[i-1]+f[i-2];
    }
}

int main()
{
    ll n;
    init();
    while(~scanf("%lld",&n),n)
    {
        bool fl = 0;
        for(int i = 0; i <= 45; i++){
            if(f[i]==n){
                fl = 1;
                break;
            }
        }
        if(fl) puts("Second win");
        else puts("First win");
    }
    return 0;
}

poj_1286 polya

介绍一下burnside 和 polya

结论：

burnside：

对于一个置换f，若一个着色方案s经过置换后不变，称s为f的不动点，将f的不动点的个数记为 \(C(f)\) 则等价类数目为所有 \(C(f)\) 的平均值

polya：

如果置换f分解成 \(m(f)\) 个循环的乘积，假设k种染色，则有 $C(f) = k^{m(f)} $ 带入burnside，等价类的个数等于所有的置换f的$C(f) = k^{m(f)} $ 的平均数

应用：

所以做题的时候要找到所有的置换

置换要构成置换群，即满足所有置换F中任意两个置换的乘积也应当在F中

然后对于每个置换找到其不动点个数，或者是找到循环节的个数然后带入公式即可

• 题意

就是一个手镯，用三种颜色图，可以旋转和翻转，求有多少方案。

• 题解

对于旋转的话有n种置换，每种置换的循环节为gcd(i,n),i是旋转的个数，可以自己找找规律

对于翻转的置换

考虑n是奇数，则对于每个点都有一个对称轴，那么就有n种置换，每种置换的循环节是(n+1)/2

如果n是偶数，那么有n/2中置换是点通过对称轴对应的循环节为(n/2)+1;

有n/2种置换是对称轴不通过点，那么有n/2个循环节

• 代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long
ll gcd(ll a, ll b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
ll Polya(ll n)
{
    if(n==0)
        return 0;
    //旋转
    ll c;
    ll sum = 0;
    for(ll i = 1; i <= n; i++)
    {
        c = gcd(i,n);
        sum+=pow(3.0,(double)c);
    }
    //翻转
    if(n%2==0)
    {
        sum+=pow(3.0,(double)((n+2)/2))*n/2;
        sum+=pow(3.0,(double)n/2)*n/2;
    }
    else
    {
        sum+=pow(3.0,(double)((n+1)/2))*n;
    }
    return sum/(2*n);
}
int main()
{
    ll n;
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        if(n==-1) return 0;
        printf("%lld\n",Polya(n));
    }
    return 0;
}

poj_2369 置换

• 题意

给定一个序列,问需要最少需要置换多少次才能变为有序序列.

*分析

对于每一位，算出最少的置换到自己应该的数字。每一位都有这样的数字，取最小公倍数就可以。对于置换的题一般都去想循环节

• 代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
#define ll long long
map <ll,ll> m;
bool vis[1004];
ll gcd(ll a, ll b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
ll lcd(ll a, ll b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}
int main()
{
    ll n;
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        m.clear();
        ll tm;
        for(ll i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%lld",&tm);
            m[i] = tm;
            vis[i] = 0;
        }
        ll c;
        ll ans = 1;
        for(ll i = 1; i <= n; i++){
            if(vis[i]!=0){
                continue;
            }
            c = 0;
            ll tt = i;
            vis[tt] = 1;
            while(1)
            {
                c++;
                //printf("tt = %lld\n",tt);
                tt = m[tt];
                if(vis[tt]!=0) break;
                vis[tt] = 1;
            }
            ans = lcd(c,ans);
           // printf("ans = %lld\n",ans);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

uva_10733 置换

题意：求用n中颜色涂立方体的不同种数，能旋转到的算一种

题意：和上一题UVA - 10601 Cubes （组合+置换） 的立方体旋转考虑的分类是一样的，不过这里我们考虑的是涂面的情况

1.不变置换(1)(2)(3)(4)(5)(6), 共1个;

2.沿对面中心轴旋转 90度, 270度 (1)(2345)(6), (1)(5432)(6) 同类共 6个;

3.沿对面中心轴旋转 180度 (1)(24)(35)(6), 同类共 3个;

4.沿对角线轴旋转 120度, 240度 (152)(346), (251)(643) 同类共 8个;

5.沿对边中点轴旋转 180度 (16)(25)(43) 同类共 6个;

#include <cstdio>
#include <cstring>

unsigned long long n;

int main() {
    while (~scanf("%llu", &n) && n) {
        printf("%llu\n", (n * n * n * n * n * n + 12 * n * n * n + 3 * n * n * n * n + 8 * n * n) / 24);
    }
    return 0;
}