【CQOI2012】局部极小值
Description
有一个\(n\)行\(m\)列的整数矩阵，其中\(1\)到\(nm\)之间的每个整数恰好出现一次。如果一个格子比所有相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）都小，我们说这个格子是局部极小值。
给出所有局部极小值的位置，你的任务是判断有多少个可能的矩阵。
答案对\(123456789\)取模。
\(1\leq n\leq 4,1\leq m\leq 7\)。
样例输入：
1 3
.X.
样例输出：
2
我们可以发现一张图上的最小值点最多\(8\)个。于是我们找到所有的最小值点以及与这些点的所有相邻点。
我们考虑从\(1\)到\(nm\)将每个数字填入一个格子中。显然一个格子\((x,y)\)只有在\((x,y)\)周围的最小值点都已经填充了数字的时候它才能填充。
我们设\(size_{S}\)表示最小值填充的情况为\(S\)的时候有多少非最小值点可以填充。
我们考虑从\(nm\)到\(1\)倒着枚举每个数\(i\)，然后在枚举集合\(S\)表示\(i+1\)到\(nm\)中已经填充了\(S\)集合中的最小值。然后用组合数搞一搞就好了。
但是我们会发现一个问题，我们算出的答案中的最小值点可能不止题目中给定的点，这种情况是要舍去的。所以我们就\(dfs\)枚举所有可能的最小值点的情况，然后容斥就行了。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 10
#define M 10
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
const ll mod=12345678;
int n,m;
char mp[N][N];
#define pr pair<int,int>
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
vector<pr>mn;
int q[15];
ll f[1<<8],g[1<<8];
int num;
ll fac[N*M];
ll C[N*M][N*M];
int sta[N][M];
int dx[]={1,1,0,-1,-1,-1,0,1},dy[]={0,-1,-1,-1,0,1,1,1};
int size[1<<8];
int bin[1<<8];
bool vis[N][M];
ll DP() {
memset(sta,0,sizeof(sta));
memset(f,0,sizeof(f));
memset(size,0,sizeof(size));
int cnt=0;
for(int i=0;i<mn.size();i++) {
int x=mn[i].first,y=mn[i].second;
for(int j=0;j<8;j++) {
int a=x+dx[j],b=y+dy[j];
sta[a][b]|=1<<cnt;
}
cnt++;
}
if(!cnt) return fac[n*m];
for(int T=0;T<1<<cnt;T++) {
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=m;j++) {
if(sta[i][j]&&(sta[i][j]&T)==sta[i][j]) {
size[T]++;
}
}
}
}
ll ans=0;
f[0]=1;
for(int i=n*m;i>=1;i--) {
memset(g,0,sizeof(g));
for(int T=0;T<1<<cnt;T++) {
if(!f[T]) continue ;
int res=((1<<cnt)-1)^T;
for(int j=0;j<cnt;j++) {
if(T>>j&1) continue ;
int now=size[res]-size[res^(1<<j)];
int emp=n*m-i-bin[T]-(size[(1<<cnt)-1]-size[res]);
if(emp>=now) {
(g[T|(1<<j)]+=C[emp][now]*fac[now]%mod*f[T])%=mod;
}
}
}
for(int T=0;T<1<<cnt;T++) (f[T]+=g[T])%=mod;
}
ans=f[(1<<cnt)-1];
return ans*fac[n*m-size[(1<<cnt)-1]-bin[(1<<cnt)-1]]%mod;
}
ll dfs(int x,int y,ll flag) {
if(x>n) {
ll tem=DP();
return DP()*flag%mod;
}
if(y>m) return dfs(x+1,1,flag);
else {
ll ans=0;
if(!vis[x][y]) {
int tag=1;
for(int i=0;i<8;i++) {
int a=x+dx[i],b=y+dy[i];
if(vis[a][b]) tag=0;
}
if(tag) {
vis[x][y]=1;
mn.push_back(mp(x,y));
(ans+=dfs(x,y+1,flag*(mod-1)%mod))%=mod;
vis[x][y]=0;
mn.pop_back();
}
}
(ans+=dfs(x,y+1,flag))%=mod;
return ans;
}
}
void out(int S) {
for(int i=0;i<mn.size();i++) cout<<(S>>i&1);
cout<<"\n";
}
int main() {
n=Get(),m=Get();
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=n*m;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
for(int i=0;i<=n*m;i++)
for(int j=0;j<=i;j++)
C[i][j]=(!j||i==j)?1:(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
for(int S=0;S<1<<8;S++)
for(int i=0;i<8;i++) bin[S]+=(S>>i&1);
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%s",mp[i]+1);
}
int flag=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=m;j++) {
if(mp[i][j]=='X') {
mn.push_back(mp(i,j));
vis[i][j]=1;
if(mp[i-1][j]=='X'||mp[i][j-1]=='X'||mp[i-1][j-1]=='X'||mp[i-1][j+1]=='X') {
flag=1;
}
}
}
}
if(flag) return cout<<0,0;
cout<<dfs(1,1,1);
return 0;
}