摘要：
二進位是由十進位轉換而成，它的數字都由1、0組成的。我們研究發現由十進位轉換而成的二進位的數字可以不只局限在於1~127，它的數可以更加深加廣，並且可以利用二進位的規則轉換成遊戲。我們利用2n－1的規則，並用十進位轉二進位的方式，想出一個可以猜到別人心中所想的數的遊戲。過程中，我們發現利用這個規則不但可以計算出更大的數，也可以延伸出更多的遊戲。我們將重點放在二進位的擴展與三進位的研究，許多資料中提到的二進位轉換都只有到127而已，我們針對127以後的數進行研究，探討是否可以跟127以前的數一樣，同時也研究三進位的規則，並轉換成遊戲。對於二進位的擴展和三進位的研究，我們發現二進位以後的數和三進位也都可以研究出規則，和轉換成遊戲。
壹、研究動機：
有一次，老師拿了一組六張卡片的遊戲，叫我們在心中默想一個數，然後依次回答六張卡片中有沒有你心中所想的數，結果老師分別將我們心中的數猜出來，這時我們只覺得很神奇，但也因為這個小小的遊戲，使我們決定一起去研究它。
貳、研究目的：
一、研究是否能猜出比63更大的數。
二、研究比63更大的數至少需多少張卡片。
三、探討是否可利用其他路徑猜出答案。
四、研究其他進位法是否也有類似的規則。
參、研究過程或方法
一、玩家祕笈：
(一)、請玩家從1~63中選擇一個數字，不要告訴莊家。
(二)、莊家將下面(表一)的六張卡片拿給玩家看，請玩家檢查所選的數字出現在哪幾張卡片上，將這幾張卡片的編號告訴莊家。
(三)、莊家根據玩家所告知的編號，就可以猜出玩家所選擇的數字是哪一個。
例如：
玩家心理想的數是「19」，然後莊家給玩家看(表一)，玩家告訴莊家他所選擇數字出現在編號「一」、「二」、「五」的卡片中。
然後莊家沉思了幾秒鐘就回答「19」
玩家驚呼：「哇！好厲害喔！」
莊家說：「這沒什麼啦！」
二、莊家祕笈：
二進位：1~63
|
一 |
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 |
二 |
2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31 34 35 38 39 42 43 46 47 50 51 54 55 58 59 62 63 |
|
三 |
4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63 |
四 |
8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31 40 41 42 43 44 45 46 47 56 57 58 59 60 61 62 63 |
|
五 |
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 |
六 |
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 |
（表一）
這個問題其實是利用二進位來設計的一個遊戲，第一張卡片所代表的是=1（十進位），這些數在二進位裡表示，第一位數都是1；第二張卡片所代表的是=2（十進位），這些數在二進位裡表示，第二位數都是1，以此類推第六張卡片所代表的是=32（十進位），這些數在二進位裡表示第六位數都是1。請參照(表二)。
十進位的數都可以用二進位來表示，例如：19在六位數的二進位表示為010011，所以19這個數字會出現在第一張、第二張和第五張卡片內，也就是說19=16+2+1。而52在6個位數的二進位表示為110100，所以52這個數字會出現在第三張、第五張和第六張卡片內，也就是說52=32+16+4。因此，1~63的數都可以用六位數的二進位來表示，所以不管玩家想哪一個數，都可以在六張卡片中找到這個數，這樣莊家就可以根據玩家所告知的卡片編號和二進位的法則，讓具有「讀心術」的莊家讀出玩家究竟選擇哪一個數字。
|
十進位數字 |
二進位表示 |
十進位數字 |
二進位表示 |
十進位數字 |
二進位表示 |
十進位數字 |
二進位表示 |
|
1 |
000001 |
17 |
010001 |
33 |
100001 |
49 |
110001 |
|
2 |
000010 |
18 |
010010 |
34 |
100010 |
50 |
110010 |
|
3 |
000011 |
19 |
010011 |
35 |
100011 |
51 |
110011 |
|
4 |
000100 |
20 |
010100 |
36 |
100100 |
52 |
110100 |
|
5 |
000101 |
21 |
010101 |
37 |
100101 |
53 |
110101 |
|
6 |
000110 |
22 |
010110 |
38 |
100110 |
54 |
110110 |
|
7 |
000111 |
23 |
010111 |
39 |
100111 |
55 |
110111 |
|
8 |
001000 |
24 |
011000 |
40 |
101000 |
56 |
111000 |
|
9 |
001001 |
25 |
011001 |
41 |
101001 |
57 |
111001 |
|
10 |
001010 |
26 |
011010 |
42 |
101010 |
58 |
111010 |
|
11 |
001011 |
27 |
011011 |
43 |
101011 |
59 |
111011 |
|
12 |
001100 |
28 |
011100 |
44 |
101100 |
60 |
111100 |
|
13 |
001101 |
29 |
011101 |
45 |
101101 |
61 |
111101 |
|
14 |
001110 |
30 |
011110 |
46 |
101110 |
62 |
111110 |
|
15 |
001111 |
31 |
011111 |
47 |
101111 |
63 |
111111 |
|
16 |
010000 |
32 |
100000 |
48 |
110000 |
64 |
1000000 |
（表二）
肆、研究結果與討論---三進位
一、玩家秘笈
（一）請玩家在1~26之中選個數字，不要跟莊家說。
（二）莊家將3張卡片中分成六格的格子拿給玩家看，請玩家檢查六格的格子中有沒有出現你想的數字在哪幾格卡片上，再告訴莊家有或沒有。
（三）莊家根據玩家所告知的編號，就可以猜出玩家所選擇的數字。
二、莊家秘笈
甲為莊家，乙為玩家。乙從(表三) 1~26隨便想一個數字，例如「21」，然後甲給乙看3張卡片中的6個格子，乙告訴甲他所選擇的數字出現在二A和三B的卡片中。甲沉思了一會兒就回答說:「21。」
三進位：1~26
|
A |
B |
|
|
一 |
1 4 7 10 13 16 19 22 25 |
2 5 8 11 14 17 20 23 26 |
|
二 |
3 4 5 12 13 14 21 22 23 |
6 7 8 15 16 17 24 25 26 |
|
三 |
9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
18 19 20 21 22 23 24 25 26 |
（表三）
|
十進位數字 |
三進位表示 |
十進位數字 |
三進位表示 |
|
1 |
001 |
14 |
112 |
|
2 |
002 |
15 |
120 |
|
3 |
010 |
16 |
121 |
|
4 |
011 |
17 |
122 |
|
5 |
012 |
18 |
200 |
|
6 |
020 |
19 |
201 |
|
7 |
021 |
20 |
202 |
|
8 |
022 |
21 |
210 |
|
9 |
100 |
22 |
211 |
|
10 |
101 |
23 |
212 |
|
11 |
102 |
24 |
220 |
|
12 |
110 |
25 |
221 |
|
13 |
111 |
26 |
222 |
（表四）
其實，這個問題是運用三進位來設計的一個遊戲，用有、沒有來回答；若有的話，可能是 A所代表的1，也可能是B所代表的2；沒有則是零。 仔細觀察(表三)和(表四)的三張卡片，我們可以得知以下的結論: 第一張卡片的A格子，它所代表的是三進位表示法，尾數是1的數；B格子所代表的是三進位表示法，尾數全是2的數。若以上都沒有的話則是0；第二張卡片的A格子則是三進位表示法，後面數來的第二位為1的數，第二張卡片的B格子則是從三進位表示法後面數來的第二位為2的數，以此類推...。
我們可以知道十進位的數都可以用三進位來表示 (視數字之大小需用不同的位數)，Ex:21可以用三進位來表示為「210」，所以21這個數字會出現在二－A、三－B中，也就是說21＝3＋18。而15這個數可以用三進位的三位數來表示為「120」，所以15這個數它會出現在二－B、三－A的格子中，也就是說6＋9＝15。因此，1~26的數都可以用三位數的三進位來表示，所以不管玩家想哪一個數，都可以在三張卡片六個格子中找到這個數，這樣具有「讀心術」的莊家就可以根據玩家所告知的卡片編號和二進位法則，讀出玩家究竟是哪一個數字。但為什麼只能猜1~26呢？因為三進位的三位數能表示的最大數就是26（十進位）【這個數字是這樣算出來的－1＝26】。
三、延伸之法
（一）混濁之數
仔細觀察格子中的數，我們可以發現一－A~三－B中的數字都是井然有序的，要是比較細心的玩家可能就會發現你的把戲，但如果我們將格子的數字全打亂了，一定會使玩家困惑，讓玩家更佩服具有讀心術的莊家。我們發現其實三進位的遊戲除了猜心術這個兩人以上的遊戲之外，可以發展成一個人在玩的『迷宮遊戲』，（如圖一）。原理和猜心術相同。
（二）分身之術
(表四)中，我們只做到十進位中的26而已，但我們還可以設計出更大範圍的數字；如: 1~80（3－1＝80）…等。只要握住一個原則【3－1】就可以了！
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A |
B |
|
9.10.11.12.13 .14.15.16.17 |
18.19.20.21.22 .23.24.25.26 |
0 A B
|
A |
B |
|
3.4.5.12.13 .14.21.22.23. |
6.7.8.15.16 .17.24.25.26. |
|
A |
B |
|
3.4.5.12.13 .14.21.22.23. |
6.7.8.15.16 .17.24.25.26. |
|
A |
B |
|
3.4.5.12.13 .14.21.22.23. |
6.7.8.15.16 .17.24.25.26. |
－
|
4 |
B |
|
1.4.7.10.13. 16.19.22.25 |
2.5.8.11.14. 17..20.23.26 |
|
4 |
B |
|
1.4.7.10.13. 16.19.22.25 |
2.5.8.11.14. 17..20.23.26 |
|
4 |
B |
|
1.4.7.10.13. 16.19.22.25 |
2.5.8.11.14. 17..20.23.26 |
|
4 |
B |
|
1.4.7.10.13. 16.19.22.25 |
2.5.8.11.14. 17..20.23.26 |
|
4 |
B |
|
1.4.7.10.13. 16.19.22.25 |
2.5.8.11.14. 17..20.23.26 |
|
4 |
B |
|
1.4.7.10.13. 16.19.22.25 |
2.5.8.11.14. 17..20.23.26 |
|
4 |
B |
|
1.4.7.10.13. 16.19.22.25 |
2.5.8.11.14. `17..20.23.26 |
|
4 |
B |
|
1.4.7.10.13. 16.19.22.25 |
2.5.8.11.14. 17..20.23.26 |
|
4 |
B |
|
1.4.7.10.13. 16.19.22.25 |
2.5.8.11.14. 17..20.23.26 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 24 25 26
(圖一)
伍、結論
一、根據以上的討論，我們發現除了可猜出最初1～63之間的數之外。我們還可以將數字擴大到1～255，甚至可猜出更大的數，當然越大的數，在計算上會比較複雜一點。
二、研究中，發現二進位卡片的張數跟2的次方有很大的關係，當數字為1～63時，最大的數為26－1＝63也就是說，至少需六張卡片。依此類推當數字為1～127時，最大的數為27－1＝127，至少需七張卡片。三進位卡片的張數則跟3的次方有關係，當數字為1～26時最大的數為33－1＝26，代表至少需3張卡片6個表格，才能猜出答案來。
三、研究過程中，我們發現遊戲人數除了原來的莊家與玩家兩人之外，還可以發展成一個人玩的『迷宮遊戲』模式。根據上面探討的原理，只要利用簡單的樹狀圖結構就可以設計出來。
四、除了二進位的研究之外，我們還將觸角延伸到三進位的遊戲上，發現三進位也可以利用類似的規則，得到我們想要猜出的數字。當然其他進位法也可以仿照這樣的作法，只不過會變得越來越複雜，那就失去探討的意義了。
陸、參考資料
一、李毓佩（民90）。數學的傳奇與遊戲（138~140）。國際村文庫書店有限公司。
二、張秋林（民91）。數學魔幻謎題（87~89）。林鬱文化事業有限公司。
三、勝野元薰（民91）。電影數學魔術入門（65~72）。國際村文庫書店有限公司。
四、李國賢（民92）。趣味數學‧遊戲篇（273~280）。新潮社文化事業有限公司。