StanFord ML 笔记第九部分

第九部分：

　　1.高斯混合模型

　　2.EM算法的认知

1.高斯混合模型

　　之前博文已经说明：http://www.cnblogs.com/wjy-lulu/p/7009038.html

2.EM算法的认知

　　2.1理论知识之前已经说明：http://www.cnblogs.com/wjy-lulu/p/7010258.html

　　2.2公式的推导　

　　　　2.2.1. Jensen不等式

　　　　回顾优化理论中的一些概念。设f是定义域为实数的函数，如果对于所有的实数x， StanFord ML 笔记第九部分，那么f是凸函数。当x是向量时，如果其hessian矩阵H是半正定的（），那么f是凸函数。如果或者，那么称f是严格凸函数。

　　　　Jensen不等式表述如下：

　　　　如果f是凸函数，X是随机变量，那么

　　　　 StanFord ML 笔记第九部分

　　　　特别地，如果f是严格凸函数，那么 StanFord ML 笔记第九部分当且仅当，也就是说X是常量。

　　　　这里我们将 StanFord ML 笔记第九部分简写为。

　　　　如果用图表示会很清晰：

StanFord ML 笔记第九部分

　　　　图中，实线f是凸函数，X是随机变量，有0.5的概率是a，有0.5的概率是b。（就像掷硬币一样）。X的期望值就是a和b的中值了，图中可以看到 StanFord ML 笔记第九部分成立。

　　　　当f是（严格）凹函数当且仅当-f是（严格）凸函数。

　　　　Jensen不等式应用于凹函数时，不等号方向反向，也就是 StanFord ML 笔记第九部分。

　　　　2.2.2 EM算法

　　　　给定的训练样本是 StanFord ML 笔记第九部分，样例间独立，我们想找到每个样例隐含的类别z，能使得p(x,z)最大。p(x,z)的最大似然估计如下：

StanFord ML 笔记第九部分

　　　　第一步是对极大似然取对数，第二步是对每个样例的每个可能类别z求联合分布概率和。但是直接求 StanFord ML 笔记第九部分一般比较困难，因为有隐藏变量z存在，但是一般确定了z后，求解就容易了。

　　　　EM是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。竟然不能直接最大化 StanFord ML 笔记第九部分，我们可以不断地建立的下界（E步），然后优化下界（M步）。这句话比较抽象，看下面的。

　　　　对于每一个样例i，让 StanFord ML 笔记第九部分表示该样例隐含变量z的某种分布，满足的条件是。（如果z是连续性的，那么是概率密度函数，需要将求和符号换做积分符号，这里概率论书上也有说明，看个例子大家就明白）。比如要将班上学生聚类，假设隐藏变量z是身高，那么就是连续的高斯分布。如果按照隐藏变量是男女，那么就是伯努利分布了。这里就是上面说的Z的概率和为1.

　　　　可以由前面阐述的内容得到下面的公式：

StanFord ML 笔记第九部分

　　　　（1）到（2）比较直接，就是分子分母同乘以一个相等的函数。（2）到（3）利用了Jensen不等式，考虑到 StanFord ML 笔记第九部分是凹函数（二阶导数小于0），而且

StanFord ML 笔记第九部分

　　　　就是 StanFord ML 笔记第九部分的期望（回想期望公式中的Lazy Statistician规则）：

　　　　　　Lazy Statistician：这个公式没啥稀奇的，就是连续概率函数的期望公式，每本概率论书上都有的！

设Y是随机变量X的函数 StanFord ML 笔记第九部分（g是连续函数），那么

（1） X是离散型随机变量，它的分布律为 StanFord ML 笔记第九部分，k=1,2,…。若绝对收敛，则有

StanFord ML 笔记第九部分

（2） X是连续型随机变量，它的概率密度为 StanFord ML 笔记第九部分，若绝对收敛，则有

StanFord ML 笔记第九部分

对应于上述问题，Y是 StanFord ML 笔记第九部分，X是，是，g是到的映射。这样解释了式子（2）中的期望，再根据凹函数时的Jensen不等式：

StanFord ML 笔记第九部分

可以得到（3）。

注释：这里(3)的推到没有什么捷径，大家动手一下就可以了，连续函数的期望+Log函数性质+Jensen不等式，运用这三个公式去推导！

　　　　这个过程可以看作是对 StanFord ML 笔记第九部分求了下界。对于的选择，有多种可能，那种更好的？假设已经给定，那么的值就决定于和了。我们可以通过调整这两个概率使下界不断上升，以逼近的真实值，那么什么时候算是调整好了呢？当不等式变成等式时，说明我们调整后的概率能够等价于 StanFord ML 笔记第九部分了。按照这个思路，我们要找到等式成立的条件。根据Jensen不等式，要想让等式成立，需要让随机变量变成常数值，这里得到：

注释：开投的Jensen正面已经有说明！

StanFord ML 笔记第九部分

　　　　 c为常数，不依赖于 StanFord ML 笔记第九部分。对此式子做进一步推导，我们知道，那么也就有，（多个等式分子分母相加不变，这个认为每个样例的两个概率比值都是c），那么有下式：

StanFord ML 笔记第九部分

　　　　此，我们推出了在固定其他参数 StanFord ML 笔记第九部分后，的计算公式就是后验概率，解决了如何选择的问题。这一步就是E步，建立的下界。接下来的M步，就是在给定后，调整，去极大化的下界（在固定后，下界还可以调整的更大）。那么一般的EM算法的步骤如下：

循环重复直到收敛 {

（E步）对于每一个i，计算

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（M步）计算

StanFord ML 笔记第九部分

　　　　那么究竟怎么确保EM收敛？假定 StanFord ML 笔记第九部分和是EM第t次和t+1次迭代后的结果。如果我们证明了，也就是说极大似然估计单调增加，那么最终我们会到达最大似然估计的最大值。下面来证明，选定后，我们得到E步

StanFord ML 笔记第九部分

　　　　这一步保证了在给定 StanFord ML 笔记第九部分时，Jensen不等式中的等式成立，也就是

StanFord ML 笔记第九部分

　　　　然后进行M步，固定 StanFord ML 笔记第九部分，并将视作变量，对上面的求导后，得到，这样经过一些推导会有以下式子成立：

　　　　注释：其实我们做的每一步都是求每个位置的局部极大值，这里肯定是大于等于前面一个值的。 StanFord ML 笔记第九部分

　　　　解释第（4）步，得到 StanFord ML 笔记第九部分时，只是最大化，也就是的下界，而没有使等式成立，等式成立只有是在固定，并按E步得到时才能成立。

StanFord ML 笔记第九部分

　　　　况且根据我们前面得到的下式，对于所有的 StanFord ML 笔记第九部分和都成立

StanFord ML 笔记第九部分

　　　　第（5）步利用了M步的定义，M步就是将 StanFord ML 笔记第九部分调整到，使得下界最大化。因此（5）成立，（6）是之前的等式结果。

　　　　这样就证明了 StanFord ML 笔记第九部分会单调增加。一种收敛方法是不再变化，还有一种就是变化幅度很小。

　　　　再次解释一下（4）、（5）、（6）。首先（4）对所有的参数都满足，而其等式成立条件只是在固定 StanFord ML 笔记第九部分，并调整好Q时成立，而第（4）步只是固定Q，调整，不能保证等式一定成立。（4）到（5）就是M步的定义，（5）到（6）是前面E步所保证等式成立条件。也就是说E步会将下界拉到与一个特定值（这里）一样的高度，而此时发现下界仍然可以上升，因此经过M步后，下界又被拉升，但达不到与 StanFord ML 笔记第九部分另外一个特定值一样的高度，之后E步又将下界拉到与这个特定值一样的高度，重复下去，直到最大值。