calc
Time Limit: 30 Sec Memory Limit: 512 MB
Submit: 377 Solved: 226
[Submit][Status][Discuss]
Description
一个序列a1,...,an是合法的，当且仅当：
长度为给定的n。
a1,...,an都是[1,A]中的整数。
a1,...,an互不相等。
一个序列的值定义为它里面所有数的乘积，即a1a2...an。
求所有不同合法序列的值的和。
两个序列不同当且仅当他们任意一位不一样。
输出答案对一个数mod取余的结果。
Input
一行3个数，A，n，mod。意义为上面所说的。
Output
一行结果。
Sample Input
Sample Output
HINT
数据规模和约定
0:A<=10,n<=10。
1..3:A<=1000,n<=20.
4..9:A<=10^9,n<=20
10..19:A<=10^9,n<=500。
全部:mod<=10^9,并且mod为素数，mod>A>n+1
Source
不得不说dp设的也是十分好的，估计自己还想不出。
f[i][j]表示，前i个元素中，选择了j个的方案数，这个转移是怎么样的呢？
f[i][j]=f[i-1][j-1]*i*j+f[i-1][j]，这个转移中的第二个十分显然，第一个是什么意思，就是选择了i这个元素，
插入到j中的任意一个位置，就是j个位置离随便哪个位置都可以，然后根据乘法的分配律，结合一下，就可以了。
当然j可以大于i，就因为i可以插到后面的位置。
就算想出了这一步，下面发现这个表是一个几次的多项式我基本上不可能会发现
某大佬打了这个表，然后这个多项式怎么搞出来的真的有点厉害
但是这个多项式是没用的，因为这个多项式的系数是变化的，所以没有什么用
有没有一个多项式的系数是不变的呢？
然后就有大佬发现了
发现了这个，即f[i][j]的系数只和j有关，是一个最高项系数是2*j的多项式，然后就稳了，
这样只需要求出2*n+1个点就可以插值了，朗格朗日插值求一下m这个位置的值即可。
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm> #define N 1007
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
int x=,f=;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<)+(x<<)+ch-'';ch=getchar();}
return x*f;
} int n,m;
ll p,ans;
ll f[N][N]; ll fast_pow(ll a,ll b)
{
ll ans=;
while(b)
{
if (b&) (ans*=a)%=p;
(a*=a)%=p;
b>>=;
}
return ans;
}
void Lagrange()
{
for (int i=;i<=*n;i++)
{
ll s1=,s2=;
for (int j=;j<=*n;j++)
if (j!=i)
{
(s1*=(m-j))%=p;
(s2*=(i-j))%=p;
}
(ans+=f[i][n]*s1%p*fast_pow(s2,p-)%p)%=p;
}
}
int main()
{
m=read(),n=read(),p=read();
f[][]=;
for (int i=;i<=*n;i++)
{
f[i][]=f[i-][];
for (int j=;j<=n;j++)
f[i][j]=(f[i-][j-]*i%p*j+f[i-][j])%p;
}
if (m<=*n)
{
printf("%lld\n",f[m][n]);
return ;
} Lagrange();
ans=(ans%p+p)%p; printf("%lld\n",ans);
}