动态规划 求解 Minimum Edit Distance

自然语言处理（NLP）中，有一个基本问题就是求两个字符串的minimal Edit Distance, 也称Levenshtein distance。受到一篇Edit Distance介绍文章的启发，本文用动态规划求取了两个字符串之间的minimal Edit Distance. 动态规划方程将在下文进行讲解。 

1. what is minimal edit distance?

简单地说，就是仅通过插入(insert)、删除(delete)和替换(substitute)个操作将一个字符串s1变换到另一个字符串s2的最少步骤数。熟悉算法的同学很容易知道这是个动态规划问题。 

其实一个替换操作可以相当于一个delete+一个insert，所以我们将权值定义如下：

I  (insert)：1

D (delete)：1

S (substitute)：2

2. example:

intention->execution

Minimal edit distance：

delete i ; n->e ; t->e ; insert c ; n->u 求和得cost=8

3.calculate minimal edit distance dynamically
思路见注释，这里D[i,j]就是取s1前i个character和s2前j个character所得minimal edit distance

三个操作动态进行更新：

D(i,j)=min { D(i-1, j) +1, D(i, j-1) +1 , D(i-1, j-1) + s1[i]==s2[j] ? 0 : 2}；中的三项分别对应D，I，S。（详见我同学的博客）

[cpp] view plaincopy

1. /* 
2.  * minEditDis.cpp 
3.  * 
4.  *  @Created on: Jul 10, 2012 
5.  *      @Author: sophia 
6.  *  @Discription: calculate the minimal edit distance between 2 strings 
7.  * 
8.  *  Method : DP (dynamic programming) 
9.  *  D[i,j]: the minimal edit distance for s1的前i个字符和 s2的前j个字符 
10.  *  DP Formulation: D[i,j]=min(D[i-1,j]+1,D[i,j-1]+1,D[i-1,j-1]+flag);//其中if(s1[i]!=s2[j])则flag=2,else flag=0; 
11.  * 
12.  */  
13.   
14. #include"iostream"  
15. #include"stdio.h"  
16. #include"string.h"  
17. using namespace std;  
18.   
19. #define N 100  
20. #define INF 100000000  
21. #define min(a,b) a<b?a:b  
22.   
23. int dis[N][N];  
24. char s1[N],s2[N];  
25. int n,m;//length of the two string  
26.   
27.   
28. int main()  
29. {  
30.     int i,j,k;  
31.     while(scanf("%s%s",&s1,&s2)!=EOF)  
32.     {  
33.         n=strlen(s1);m=strlen(s2);  
34.         for(i=0;i<=n+1;i++)  
35.             for(j=0;j<=m+1;j++)  
36.                 dis[i][j]=INF;  
37.         dis[0][0]=0;  
38.   
39.         for(i=0;i<=n;i++)  
40.             for(j=0;j<=m;j++)  
41.             {  
42.                 if(i>0) dis[i][j] = min(dis[i][j],dis[i-1][j]+1); //delete  
43.                 if(j>0) dis[i][j] = min(dis[i][j],dis[i][j-1]+1);//insert  
44.   
45.                 //substitute  
46.                 if(i>0&&j>0)  
47.                 {  
48.                     if(s1[i-1]!=s2[j-1])  
49.                         dis[i][j] = min(dis[i][j],dis[i-1][j-1]+2);  
50.                     else  
51.                         dis[i][j] = min(dis[i][j],dis[i-1][j-1]);  
52.                 }  
53.             }  
54.   
55.         printf("min edit distance is: %d\n",dis[n][m]);  
56.     }  
57.     return 0;  
58. }  

运行结果：

intention
execution
min edit distance is: 8
abc
acbfbcd
min edit distance is: 4
zrqsophia
aihposqrz
min edit distance is: 16

Reference: 

1. https://www.coursera.org/course/nlp

2. http://blog.csdn.net/huaweidong2011/article/details/7727482