NOIP2005普及组第4题 循环
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题目描述
乐乐是一个聪明而又勤奋好学的孩子。他总喜欢探求事物的规律。一天，他突然对数的正整数次幂产生了兴趣。
众所周知，2的正整数次幂最后一位数总是不断的在重复2，4，8，6，2，4，8，6……我们说2的正整数次幂最后一位的循环长度是4（实际上4的倍数都可以说是循环长度，但我们只考虑最小的循环长度）。类似的，其余的数字的正整数次幂最后一位数也有类似的循环现象：
循环
循环长度
| 数字 | 循环 | 循环长度 |
| 2 | 2、4、8、6 | 4 |
| 3 | 3、9、7、1 | 4 |
| 4 | 4、6 | 2 |
| 5 | 5 | 1 |
| 6 | 6 | 1 |
| 7 | 7、9、3、1 | 4 |
| 8 | 8、4、2、6 | 4 |
| 9 | 9、1 | 2 |
这时乐乐的问题就出来了：是不是只有最后一位才有这样的循环呢？对于一个整数n的正整数次幂来说，它的后k位是否会发生循环？如果循环的话，循环长度是多少呢？
注意：
1． 如果n的某个正整数次幂的位数不足k，那么不足的高位看做是0。
2． 如果循环长度是L，那么说明对于任意的正整数a，n的a次幂和a + L次幂的最后k位都相同。
输入
只有一行，包含两个整数n（1 <= n < 10100）和k（1 <= k <= 100），n和k之间用一个空格隔开，表示要求n的正整数次幂的最后k位的循环长度。
输出
包括一行，这一行只包含一个整数，表示循环长度。如果循环不存在，输出-1。
【数据规模】
对于30%的数据，k <= 4；
对于全部的数据，k <= 100。
样例输入
32 2
样例输出
4
提示
题目类型：高精度乘法+规律。
分析：一般来说遇到这种问题，像10^100这样的数据范围，不是高精度就是另有规律可循。这是一个循环结问题，以往有遇到打表找规律的这种问题，极容易被忽悠。
WA点：
- 答案有可能存在long long int保存不下的情况，需要用数组保存。并且过程需要高精度高乘。
- 既需要高精度低乘，又需要高精度高乘，在数组拷贝的过程中极可能出现失误。
- 单组输入
TLE点：
- 在数组的比较过程中，可以用O(1)的时间复杂度解决，而不必O(100)。
高精度高乘：大数与大数相乘，数组乘数组实现。
高精度低乘：大数与整数（较小）相乘，数字乘数字实现。
规律：当后K为数字存在循环结的必要条件是，后K-1位数字存在循环结，并且K的最小循环结必定是K-1的最小循环结的整数倍。并且对于当前位数的处理不必要取模，既然已经用了数组高精度保存便可以只考虑当前位数。在比较时，显然后K-1位已经按照之前的循环结递推过来必定相同，我们只需要比较倒数第K位是否相等即可。
技巧：关于查找循环结上限的问题，当前位数出现可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，在10次之内必定会出现与第一次相同的情况，当前次数*K-1的循环结即可得到K的循环结。如果10之内未能出现，那肯定就不存在了。
解析：我直接举一个例子进行说明吧：111 3（由于1的循环长度就是1，所以我直接从末两位循环开始）
我们来看111的末两位循环：
111 -> 321 -> 631 -> 041 -> 551 -> 161 -> 871 -> 681 -> 591 -> 601 -> 711
711处末两位出现循环，循环长度为10，循环节为11-> ...-> 01
现在我们再来看末三位循环：
111->...->601 (10个数)
711->...->201 (201就是601^2的末三位)
311->...->801 (801就是601^3的末三位)
911->...->401 (401就是601^4的末三位)
511->...->001 (001就是601^5的末三位)
111->...->601 (601就是601^6的末三位)
末三位的循环长度就是5*10=50；
好了，现在来讲具体的做法，并假设我们现在求数字n的后k位循环。
朴素的做法就是直接求n^2,n^3,n^4.。。。，并判断是否出现循环。但观察上面的演示例子，我们发现可以不必这样，以n=111为例，末两位循环节长度为10，即表示n与（n^10）*n的末两位是相同的。对于末三位的循环，肯定是（m*n^10），即m*(n^10)与n^10的末三位是相同的，m*（n^10）*n的末三位与n相同。 于是，计算末三位循环的时候，我们就直接将n^10作为第一个数，然后每次乘n^10，共乘5次，末三位出现循环，即m=5，所以末三位循环街长度就为5*10=50。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
string s;
int m, k; int i, j; int a[], aans[], n[], ans[], last[], now[], t[];
int single_j[] = { ,,,,,,,,, };//单循环结
void init()
{
memset(a, , sizeof a); memset(last, , sizeof last);
memset(aans, , sizeof aans); memset(now, , sizeof now);
memset(ans, , sizeof ans); memset(n, , sizeof n); memset(t, , sizeof t);
//for (int i = 1;; i++) { if (m == 0) break; n[i] = m % 10; m /= 10; }//将m存入数组n，以便于高精度
}
void multiplyh(int x[], int y[], int z[])
{//高精度高乘
int up = ;
for (int ii = ; ii <= k; ii++)
{
for (j = ; j <= k; j++)
{
z[ii + j - ] += (x[j] * y[ii] + up) % ;
up = (x[j] * y[ii] + up) / ;
}
up = ;
}
for (int ii = ; ii <= k; ii++) {//进位
z[ii + ] += z[ii] / ;
z[ii] %= ;
}
}
void multiplyl(int x[], int yy, int z[])
{//高精度低乘
int up = ;
for (int ii = ; ii <= k; ii++)
{
z[ii] = (x[ii] * yy + up) % ;
up = (x[ii] * yy + up) / ;
}
}
int main()
{
//scanf("%d%d", &m, &k);
init();
cin >> s;
cin >> k;
int temp = , len = s.size();
for (i = len - ; i >= len - k; i--)
n[++temp] = s[i] - '';
int tmp = ;
for (int i = ; i <= k; i++) ans[i] = n[i];
for (int i = ; i < single_j[n[]]; i++)
{
memset(aans, , sizeof aans);
multiplyh(ans, n, aans);
for (int j = ; j <= k; j++) { ans[j] = aans[j]; }//更新为第一次出现末尾循环节的状态
}
t[] = single_j[n[]];//最低位的循环结
for (int i = ; i <= k; i++) now[i] = ans[i];
int pos = ;//当前倒数位数
while (pos <= k)
{
for (int j = ; j <= k; j++)
{
ans[j] = n[j];
last[j] = now[j];
}
tmp = ;
while (tmp < )
{
tmp++;
memset(aans, , sizeof aans);
multiplyh(ans, now, aans);
for (j = ; j <= k; j++)
{
ans[j] = aans[j];
}
if (ans[pos] == n[pos]) break;//找到循环结
memset(aans, , sizeof(aans));
multiplyh(last, now, aans);//更新last
for (j = ; j <= k; j++) last[j] = aans[j];
}
if (tmp >= ) { cout << -; return ; }
for (int j = ; j <= k; j++) now[j] = last[j];
memset(aans, , sizeof aans);
multiplyl(t, tmp, aans);//更新循环节数组
for (int i = ; i <= ; i++) t[i] = aans[i];
pos++;
}
int flag = ;//不输出前导0
for (int i = ; i >= ; i--)
{
if (t[i]) flag = ;
if (flag) cout << t[i];
}
return ;
}