求$\sum_{i=1}^{n}\varphi (i)$，$n\leqslant 1e10$。
这里先把杜教筛的一般套路贴一下：
要求$S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$，而现在有一数论函数$g(i)$，$g(i)$的前缀和很无脑，且$f$和$g$的狄利克雷卷积的前缀和很无脑（太巧了吧。。），那么由
$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})$
闪一句，常用套路：设$i=kd$，转而枚举$k$。
$=\sum_{k=1}^{n}g(k)\sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor}f(d)$
$=\sum_{k=1}^{n}g(k)S(\frac{n}{k})$
可得
$g(1)S(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})-\sum_{k=2}^{n}g(k)S(\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor)$
进而递推求S。
官方复杂度：（假如构造的卷积的前缀和和g的前缀和都是O(1)可知）由于S那个除法的取值范围：1，2，……，m-1，m，n/m，n/(m-1)，……，n，
可以想到预处理一部分再算一部分，假设预处理了$n^k$，那么总的复杂度就是：$max(n^k,没预处理的那一段)$，
没预处理的那段就是$\sum_{i=1}^{n^{1-k}}\sqrt{\frac{n}{i}}=n^{\frac{1}{2}}\sum_{i=1}^{n^{1-k}}i^{-\frac{1}{2}}\approx n^{\frac{1}{2}}n^\frac{1-k}{2}$
所以总的复杂度就是$max(n^k,n^{\frac{1}{2}}n^\frac{1-k}{2})$，当$\frac{1}{2}+\frac{1-k}{2}=k$时取得最小复杂度，$k=\frac{2}{3}$.
然而我这里有点不懂：因为没预处理的那段我们是直接递归+记忆化的，那记忆化的那部分复杂度怎么算？如何证明杜教筛过程中出现的数字个数的上限？暂不知。先用着。
好那这道题，我们要找一个前缀和无脑且和$\varphi $乘起来无脑的一个函数--1！——就是f(x)=1不知道叫什么——因为有$\varphi *1=Id$，$Id(x)=x$。
那就带进去玩一玩：
$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\varphi (d)=\sum_{k=1}^{n}1\sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor}\varphi (d)= \sum_{k=1}^{n}S(\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor)$
玩够一百下再玩一百下：
$S(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}1*\varphi (d)-\sum_{k=2}^{n}S(\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{k=2}^{n}S(\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor)$。
OK丢去筛吧。
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
//#include<assert.h>
#include<algorithm>
//#include<iostream>
//#include<bitset>
using namespace std; #define LL long long
LL n,m;
#define maxn 5000011
const int mod=1e9+;
int phi[maxn],sumphi[maxn],prime[maxn/],lp; bool notprime[maxn];
void pre(int n)
{
lp=; phi[]=; sumphi[]=;
for (int i=;i<=n;i++)
{
if (!notprime[i]) {prime[++lp]=i; phi[i]=i-;}
sumphi[i]=sumphi[i-]+phi[i];
sumphi[i]-=sumphi[i]>=mod?mod:;
for (int j=,tmp;j<=lp && 1ll*prime[j]*i<=n;j++)
{
notprime[tmp=i*prime[j]]=;
if (i%prime[j]) phi[tmp]=1ll*phi[i]*(prime[j]-)%mod;
else {phi[tmp]=1ll*phi[i]*prime[j]%mod; break;}
}
}
} struct Edge{LL to; int v,next;};
#define maxh 1000007
struct Hash
{
int first[maxh],le;Edge edge[maxn];
Hash() {le=;}
void insert(LL y,int v)
{int x=y%maxh; Edge &e=edge[le]; e.to=y; e.v=v; e.next=first[x]; first[x]=le++;}
int find(LL y)
{
int x=y%maxh;
for (int i=first[x];i;i=edge[i].next) if (edge[i].to==y) return edge[i].v;
return -;
}
}h; int du(LL n)
{
if (n<=m) return sumphi[n];
int tmp=h.find(n); if (tmp!=-) return tmp;
LL tot=;
for (LL i=,last;i<=n;i=last+)
{
last=n/(n/i);
tot+=(last-i+)*du(n/i)%mod;
tot-=tot>=mod?mod:;
}
LL ans=(n%mod)*((n+)%mod)%mod*((mod+)>>)%mod-tot;
ans+=ans<?mod:;
h.insert(n,ans);
return ans;
} int main()
{
scanf("%lld",&n);
m=(LL)pow(pow(n,1.0/),); pre(m);
printf("%d\n",du(n));
return ;
}