1.单位冲击响应与频响
就如同之前所说的一样，使用下图所示的单位冲击响应，所设计的滤波器，是无法实现的。
现在，让我们看看其这个滤波器的频响。所谓频响，就是计算其单位冲击响应的离散时间傅里叶变换，
我们可以看出，这个滤波器的频响的计算结果是实数，并没有虚数部分。也就是，其相位谱一直是0，也就意味着，这个滤波器输入与输出之间没有延迟，这种相位特性称为0延迟相位特性。
但是，这个滤波器无法是无法实现的。我们实际计算一下该滤波器的输入输出，就可以明白。
这个滤波器在计算的过程中，需要过去的值和未来的值。未来的值是不可预测的，所以，这个滤波器无法实现。为了使得这个滤波器可以实现，我们只好移动其单位冲击响应，使得其不再需要未来的值。比如，就像下面这样移动。
这样的话，这个滤波器就可以实现了，我们只需要记录其40个过去的输入值和现在的输入值。但是，由于移动了其单位冲击响应，会不会对频响产生什么影响呢，我们来看看。
为了更好的说明问题，L去代替之前例子中的20。
移动之后频响，我们根据上面式子可以得出两个结论：1，移动不会对幅度谱产生影响。2,，移动会对相位产生一个延迟，这个延迟主要取决于移动的长度，移动的长度越长，延迟越大。但是，这个移动是线性的。
因此，我们把这个移动的相位特性称为，线性相位特性。到这里，我们移动后的，因果的，可实现的滤波器的单位冲击响应，如下所示。
2.窗函数实现的FIR滤波器代码（C语言）
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <malloc.h>
#include <string.h> #define pi (3.1415926) /*-------------Win Type----------------*/
#define Hamming (1) double Input_Data[] =
{
0.000000 , 0.896802 , 1.538842 , 1.760074 , 1.538842 , 1.000000 , 0.363271 , -0.142040 , -0.363271 , -0.278768,
0.000000 , 0.278768 , 0.363271 , 0.142020 , -0.363271 , -1.000000 , -1.538842 , -1.760074 , -1.538842 , -0.896802,
0.000000 , 0.896802 , 1.538842 , 1.760074 , 1.538842 , 1.000000 , 0.363271 , -0.142040 , -0.363271 , -0.278768,
0.000000 , 0.278768 , 0.363271 , 0.142020 , -0.363271 , -1.000000 , -1.538842 , -1.760074 , -1.538842 , -0.896802,
0.000000 , 0.896802 , 1.538842 , 1.760074 , 1.538842 , 1.000000 , 0.363271 , -0.142040 , -0.363271 , -0.278768,
0.000000 , 0.278768 , 0.363271 , 0.142020 , -0.363271 , -1.000000 , -1.538842 , -1.760074 , -1.538842 , -0.896802,
0.000000 , 0.896802 , 1.538842 , 1.760074 , 1.538842 , 1.000000 , 0.363271 , -0.142040 , -0.363271 , -0.278768,
0.000000 , 0.278768 , 0.363271 , 0.142020 , -0.363271 , -1.000000 , -1.538842 , -1.760074 , -1.538842 , -0.896802,
0.000000 ,
}; double sinc(double n)
{
if(==n) return (double);
else return (double)(sin(pi*n)/(pi*n));
} int Unit_Impulse_Response(int N,double w_c,
int Win_Type,
double *Output_Data)
{
signed int Count = ; for(Count = -(N-)/;Count <= (N-)/;Count++)
{
*(Output_Data+Count+((N-)/)) = (w_c/pi)*sinc((w_c/pi)*(double)(Count));
//printf("%d %lf ",Count+((N-1)/2)+1,*(Output_Data+Count+((N-1)/2)));
//if(Count%4 == 0) printf("\n");
} switch (Win_Type)
{ case Hamming: printf("Hamming \n");
for(Count = -(N-)/;Count <= (N-)/;Count++)
{
*(Output_Data+Count+((N-)/)) *= (0.54 + 0.46 * cos((*pi*Count)/(N-)));
//printf("%d %lf ",Count+((N-1)/2)+1,*(Output_Data+Count+((N-1)/2)));
//if(((Count+1)%5 == 0)&&(Count != -20)) printf("\n");
}
break; default: printf("default Hamming \n");
for(Count = -(N-)/;Count <= (N-)/;Count++)
{
*(Output_Data+Count+((N-)/)) *= (0.54 + 0.46 * cos((*pi*Count)/(N-)));
//printf("%d %lf ",Count+((N-1)/2)+1,*(Output_Data+Count+((N-1)/2)));
//if(((Count+1)%5 == 0)&&(Count != -20)) printf("\n");
} break;
} return (int);
} void Save_Input_Date (double Scand,
int Depth,
double *Input_Data)
{
int Count; for(Count = ; Count < Depth- ; Count++)
{
*(Input_Data + Count) = *(Input_Data + Count + );
} *(Input_Data + Depth-) = Scand;
} double Real_Time_FIR_Filter(double *b,
int b_Lenth,
double *Input_Data)
{
int Count;
double Output_Data = ; Input_Data += b_Lenth - ; for(Count = ; Count < b_Lenth ;Count++)
{
Output_Data += (*(b + Count)) *
(*(Input_Data - Count));
} return (double)Output_Data;
} int main(void)
{
double w_p = pi/;
double w_s = pi/;
double w_c = (w_s + w_p)/;
printf("w_c = %f \n" , w_c); int N = ;
N = (int) ((6.6*pi)/(w_s - w_p) + 0.5);
if( == N%) N++;
printf("N = %d \n" , N); double *Impulse_Response;
Impulse_Response = (double *) malloc(sizeof(double)*N);
memset(Impulse_Response,
,
sizeof(double)*N); Unit_Impulse_Response(N,w_c,
Hamming,
Impulse_Response); double *Input_Buffer;
double Output_Data = ;
Input_Buffer = (double *) malloc(sizeof(double)*N);
memset(Input_Buffer,
,
sizeof(double)*N);
int Count = ; FILE *fs;
fs=fopen("FIR_Data.txt","w"); while()
{
if(Input_Data[Count] == ) break; Save_Input_Date (Input_Data[Count],
N,
Input_Buffer); Output_Data = Real_Time_FIR_Filter(Impulse_Response,
N,
Input_Buffer); fprintf(fs,"%lf,",Output_Data);
//if(((Count+1)%5 == 0)&&(Count != 0)) fprintf(fs,"\r\n"); Count++;
} /*---------------------display--------------------------------
for(Count = 0; Count < N;Count++)
{
printf("%d %lf ",Count,*(Input_Buffer+Count));
if(((Count+1)%5 == 0)&&(Count != 0)) printf("\n");
}
*/ fclose(fs);
printf("Finish \n");
return (int);
}
3.频响的问题
按照上面程序，参数如下设定。
运行程序，我们就实现了一个FIR滤波器。我们使用Matlab做出其频响。
好了，这里可以看出，从其幅度特性看来，我们确实实现了一个低通滤波器。但是，相位特性就比较奇怪（为了方便看出问题，我已经进行了解卷绕，至于什么是解卷绕，为什么要解卷绕，之后会说）。
那么，问题来了！按照道理来说，这个FIR滤波器应该是拥有线性相位特性的，但是为什么这里的线性相位特性确不是一条直线！在接近于阻带起始频率的地方，有什么会震荡?这个问题，之后再解决吧。
[数字信号处理]相位特性解卷绕 <-----------戳我
4.实际的滤波效果
为了验证效果，我们输入实际的信号看看。这里，我们选择采样周期为10ms（0.1ms，2014.10.3日修正），那么，其通带频率和阻带起始频率为
为了验证其性质，我选择了1KHz和3KHz的频率混合，最终输出。输入的波形如下。
其输出波形是如下。
红色的“+”是Matlab计算的结果，黑的o是我用C语言实现的滤波器的计算结果，蓝的*号是1KHz的信号，也就是希望的输出。可以看出，这个滤波器有一定的延迟，但是滤波效果还是不错。