LK光流算法：提高计算精度和增加搜索范围
关于LK算法的基本理论，见：http://www.cnblogs.com/dzyBK/p/4960630.html
这里主要阐述如何提高LK算法的计算精度和在高斯金字塔上应用LK算法。
1.提高LK算法的精度
其实这也并不是什么高大尚的东西。通俗地讲，就是反复调用LK算法来提高精度。这种反复调用算法本身来提高算法精度的方法，不仅对LK算法可以使用，对其它光流算法也可以使用。的确也有很多光流算法是这么做的。除了光流算法，其它领域的很算法也都可以这么做。其实，就是一个迭代的思想。既然是一种思想，应用当然就很广啦。
在阐述如何提高LK算法精度之前，先来作一个通俗形象的比喻。假设你在A点，你想跳到离你不远处的B点。也许你想一下就跳到B点，但是你并不能保证你跳一下（步）就能准确地到达B点。也许更好的方法是允许你跳很多步，这样你就可以精确地（至少比跳一步精确）到达B点。具体跳多少步，还可以这样来决定，当你的位置与B的位置小于指定值时，就认为你已经到过了B点，此时你就可以停止跳跃，好好休息一下啦。这个过程就包含迭代的思想。其实，你到B点不一要选择跳啊，你还可以选择爬啊（比喻有点不恰当哈，但能明白什么意思就行），具体爬多少步了，也是可以人为定的。
这里的跳或者爬就是你要选择的方法。对应到我们这篇文章的目的上来，你选择计算光流，也可以有很多种方法。只是我们这里以LK为例来讲解而已。
以下对如何提高LK算法的计算精度作正式阐述。
设前一帧I上的某个像素点的位置是P(a,b)，这个像素点在当前帧J的位置是Q(c,d)，于是两帧之间的偏移量（偏移量对时间的导数就光流，所以得到偏移量也就间接地得到了光流啦）(u,v)=(c,d)-(a,b)。LK算法可表示为：
这里的F就表法LK算法，算法的输入是前后帧图像I及J和要计算其偏移量的点P，输出是点P的偏移量。对于多个点的情况，则每个点都这样表示即可。对于稠密光流的情况（即图像上每个点的光流都计算），则可表示为：
这里的E表示光流图，尺寸与I或J一样，但E是双通道图像。一个通道表示x方向的偏移量，一个通道表示y方向的偏移量。
前面已经说到，提高LK算法的计算精度就是一个迭代的过程。那到底是怎么一回事勒？其实就是当我们得到一个光流(u,v)以后，就将当前帧J平移(u,v)（也可以将I平移(-u,-v)）。平移之后，I和J就更接近重合了，P和Q也更接近了。然后我们再对I和平移后的J使用LK算法，又得到一个光流，然后又平移J。如此反复，P和Q越来越接近，我们得到光流也会越来越小。于是我们设置一个阈值，当得到光流小于此阈值时，我们认为P和Q已经完全重合。此时，我们把所有得到光流相加，就是最终的结果，即P和Q之间的偏移量。这个过程，我们可以表示为如下代码：
以上每个步骤中，我们还需判断Ui的模长Di，当Di小于指定的值d则终步迭代，于是更好表示代码如下：
2.在高斯金字塔应用LK算法
应用高斯金字塔的目的是为了增加LK算法的搜索范围，使得算法对于长距离移动的像素点也有效。怎么理解这个长距离了？同前面一样，我们设前一帧上有个像素点P，相对于当前帧它移动了U，它在当前帧的位置为Q，则P+U=Q。当U小于一定的值时，LK算法有效，当U大于一定值时，LK算法就一不定有效了。这时，就发挥高斯金字塔的作用啦。高斯金字塔可以得到一系列缩小的图像，在缩小的图像上的移动量U也会相应地缩小。此时，再应用LK算法不就可以有效啦。当然，也不是说有了高斯金字塔，移动量多大，光流算法都有效，还得看算法本身的性能。
现在我们来详细阐述下如何在高斯金字塔上应用LK算法。
首先，要为前后帧建立高斯金字塔（能看到这里不会不知道如何建高斯金字吧）。设前后帧分别为I和J，我们用Ii-1表示金字塔的第i层，用I0表示金字塔的最底层，I0=I。对于J，表示法也一样。设金字塔共有N层。在金字塔上应用LK算法的代码如下：
其中PN-1等于P坐标除以2N。从代码中可以看出，LK算法从金字塔顶层到底层逐层应用，上一层的偏移量乘以2后（乘以2的前提是金字塔是按原图缩小一半来建立的）作为下一层的初始偏移量，下一层的J先按这个偏移量平移之后再作为LK算法的输入，金字塔减小LK算法搜索范围的关键就在这里，因为平移之后，这层的I和J就更接近重合啦，所以搜索范围也就自然地减小啦。
值得注意的是，初始的Un设置为(0,0)是因为不知道初始的大约偏移量，若已知初始的大约偏移量，则可以在此指定，但记得要先除以2N。
3.综合代码
以下是在OpenCV下的代码，但并没有实现具体的细节，只是给出了算法的原理及算法的接口，只要实现给出的接口就可以实现LK算法啦。
#include <opencv2/opencv.hpp>
using namespace cv;
using namespace std;
Mat SobelX(Mat &src){ return src; }
Mat SobelY(Mat &src){ return src; }
vector<Mat> buildPyramid(Mat &sr){ vector<Mat> vecMat(); return vecMat; }
Mat Shift(Mat &src, Point2f d) { return src; }
Point2f MatToPoint(InputArray &src) { Point2f x; return x; }
void LK_Pyramid()
{
Mat I, J;//给定前一帧和当前帧（输入）
Point2f P;//给定前一帧上的某个位置（输入）
int winSize;//给定的位置领域内多少个像素的光流都相等（输入）
float acy;//程序跳出循环的阈值精度（输入）
Point2f Q;//给定位置在当前帧对应的位置（返回 或 返回+输入）
vector<Mat> pyramidI, pyramidJ;//给定前一帧和当前帧的金字塔
Mat Ixi, Iyi, P_Ixi_ROI, P_Iyi_ROI, Gi;//变量中的i表示金字塔的第i层
Mat Itij, bij;//变量中的i表示金字塔的第i层，j表示在金字塔的第i层的第j次执行LK算法
Point2f Pi;//给定的位置在金字塔的第i层的值
Point2f Ui, Di;//
Point2f Uij, Dij;//
I = imread("./../TestData/I.png");
J = imread("./../TestData/J.png");
P = Point2f(, );
winSize = ;
acy = 0.001f;
pyramidI = buildPyramid(I);
pyramidJ = buildPyramid(J);
; i >= ; i--)
{//每层循环改变Di从而改变下一层的Ui，即将每层循环的微小变化（即Di）累加到Ui上从而得到精确的Ui（最初的Ui为0或给定的值）
Pi = P / pow(.f, i);//给定的位置在金字塔的第i层的值
Ixi = SobelX(pyramidI[i]);//金字塔的第i层的x微分
Iyi = SobelY(pyramidI[i]);//金字塔的第i层的y微分
Gi.create(, , CV_32F);//金字塔第i层的空间梯度矩阵（原理见LK算法)
P_Ixi_ROI = Ixi(Rect(Pi.x - winSize / , Pi.y - winSize / , winSize, winSize));//P领域的x微分
P_Iyi_ROI = Iyi(Rect(Pi.x - winSize / , Pi.y - winSize / , winSize, winSize));//P领域的y微分
Gi = (Mat_<, ) << sum(P_Ixi_ROI*P_Ixi_ROI)[], sum(P_Ixi_ROI*P_Iyi_ROI)[], sum(P_Ixi_ROI*P_Iyi_ROI)[], sum(P_Iyi_ROI*P_Iyi_ROI)[]);
) Ui = Point2f(, );//当前帧是金字塔的最顶层的初始偏移量（即偏移量） 或 等于Q-P（Q存储有给定的大约位置，此时Q即是返回变量也是输入变量）
* (Ui + Di);//当前帧的金字塔的第i层的初始偏移量（即大约偏移量） = 2 * (前一层的Ui + 前一层的Di)
; sqrt(Dij.x*Dij.x + Dij.y*Dij.y)< acy; j++)
{//每层循环改变Dij从而改变下一层的Uij，即将每层循环的微小变化（即Dij）累加到Uij上从而得到精确的Uij（最初的Uij为0）
) Uij = Point2f(, );//首次循环的偏移量（即大约偏移量）
else Uij = Uij + Dij;//第j次循环的初始偏移量（即大约偏移量）= 前一次循环的Uij + 前一次循环的Dij
Itij = pyramidI[i] - (Shift(pyramidJ[i], Ui + Uij));//前一帧的金字塔的第i层的第j次循环的t微分
bij = (Mat_<, ) << sum(Itij*Ixi)[], sum(Itij*Iyi)[]);
Dij = MatToPoint(Gi.inv()*bij);//本层循环的Dij被改变，但Uij不变
}
Di = Uij + Dij;//最后一次循环的Uij还没有叠加到Dij上，所以再加一次
}
Q = P + Ui + Di; //最后一次循环的dL还没有叠加到gL上，所以再加一次。
}